Es sei

${\displaystyle \varphi \colon K^{3}\longrightarrow K^{2},\,(x,y,z)\longmapsto (xy,xz).}$

Bestimme die glatten Punkte zur Nullstellenmenge von ${\displaystyle {}\varphi }$. Für welche Punkte kann man (bei ${\displaystyle {}K=\mathbb {R} }$ oder ${\displaystyle {}\mathbb {C} }$) den Satz über implizite Abbildungen anwenden, für welche muss man die Definition 3.15 heranziehen?

Zeige, dass das Stanley-Reisner-Ideal ${\displaystyle {}I_{\Delta }}$ (über einem Körper) zu einem simplizialen Komplex ein Radikal ist.

Zeige, dass das Stanley-Reisner-Ideal ${\displaystyle {}I_{\Delta }}$ (über einem Körper) zu einem simplizialen Komplex nur dann ein Primideal ist, wenn ${\displaystyle {}\Delta }$ nur eine Facette besitzt.

Es sei ${\displaystyle {}I_{\Delta }\subseteq K[X_{v},\,v\in V]}$ das Stanley-Reisner-Ideal zu einem simplizialen Komplex ${\displaystyle {}\Delta }$ und sei ${\displaystyle {}S}$ eine Seite von ${\displaystyle {}\Delta }$. Zeige

${\displaystyle {}I_{\Delta }\subseteq (X_{v},\,v\notin S)=:{\mathfrak {p}}_{S}\,.}$

Zeige ferner, dass ${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}_{S}}$ ein Primideal im Polynomring ist und dass es keine Primideale zwischen ${\displaystyle {}I_{\Delta }}$ und ${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}_{S}}$ für Facetten ${\displaystyle {}S}$ gibt.

Es sei ${\displaystyle {}V\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}}$ eine Achsenraumkonfiguration. Zeige, dass der singuläre Ort von ${\displaystyle {}V}$ ebenfalls eine Achsenraumkonfiguration ist.

Zeige, dass es im Polynomring in ${\displaystyle {}n}$ Variablen genau ${\displaystyle {}{\binom {d+n-1}{n-1}}}$ Monome vom Grad ${\displaystyle {}d}$ gibt.

Zeige, dass es im Polynomring in ${\displaystyle {}n}$ Variablen genau ${\displaystyle {}{\binom {d+n}{n}}}$ Monome vom Grad ${\displaystyle {}\leq d}$ gibt.

Wir betrachten das maximale Ideal

${\displaystyle {}{\mathfrak {m}}=(X_{1},\ldots ,X_{n})\subseteq K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\,}$

im Polynomring über einem Körper ${\displaystyle {}K}$ und seine Potenzen ${\displaystyle {}{\mathfrak {m}}^{d}}$. Zeige, dass die Monome

${\displaystyle X_{1}^{\nu _{1}}\cdots X_{n}^{\nu _{n}},\sum _{i=1}^{n}\nu _{i}<d,}$

eine ${\displaystyle {}K}$-Basis des Restklassenringes ${\displaystyle {}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {m}}^{d}}$ bildet.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und

${\displaystyle {}I=(X^{\nu _{j}},j\in J)\subseteq K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\,}$

ein monomiales Ideal. Zeige, dass ein Polynom ${\displaystyle {}P\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$ genau dann zu ${\displaystyle {}I}$ gehört, wenn sämtliche Monome, die in ${\displaystyle {}P}$ (mit einem Koeffizienten ${\displaystyle {}\neq 0}$) vorkommen, zu ${\displaystyle {}I}$ gehören.

Man gebe ein Beispiel für zwei monomiale Ideale ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}}$ und ${\displaystyle {}{\mathfrak {b}}}$ in einem Polynomring und einer natürlichen Zahl ${\displaystyle {}d}$ derart, dass das Produkt ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}\cdot {\mathfrak {b}}}$ ein Erzeugendensystem von Monomen vom Grad ${\displaystyle {}\leq d}$ besitzt, die beiden Ideale aber nicht.

Es sei ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}\subseteq R}$ ein Ideal in einem kommutativen Ring ${\displaystyle {}R}$. Zeige, dass die Potenzen ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}^{n},\,n\in \mathbb {N} _{+}}$, alle dasselbe Radikal besitzen.

Es sei ${\displaystyle {}{\mathfrak {m}}=(X_{1},\ldots ,X_{n})\subseteq K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$ das durch die Variablen erzeugte maximale Ideal im Polynomring über einem Körper ${\displaystyle {}K}$ und ${\displaystyle {}f}$ ein Polynom mit ${\displaystyle {}f\in {\mathfrak {m}}^{s}}$. Zeige, dass für jede formale partielle Ableitung

${\displaystyle {}{\frac {\partial f}{\partial X_{i}}}\in {\mathfrak {m}}^{s-1}\,}$

gilt.

Berechne in ${\displaystyle {}\mathbb {Q} [X,Y,Z]/(XY,XZ)}$ das Produkt

${\displaystyle {\left(3+3X-5X^{2}-4Y-2Y^{2}+3Z-Z^{3}+YZ-Y^{2}Z+2YZ^{3}\right)}\cdot {\left(-2+3X-X^{3}+Y+Z+5Y^{3}-Z^{2}-2YZ+Y^{2}Z^{2}\right)}.}$

Es sei ${\displaystyle {}R=K[X,Y]/(XY)}$ und ${\displaystyle {}{\mathfrak {m}}=(X,Y)}$ das maximale Ideale von ${\displaystyle {}R}$. Bestimme eine Formel für die ${\displaystyle {}K}$-Dimension der Restklassenringe ${\displaystyle {}R/{\mathfrak {m}}^{n}}$ für ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} }$.

Es sei ${\displaystyle {}R=K[X,Y]/(XYZ)}$ und ${\displaystyle {}{\mathfrak {m}}=(X,Y,Z)}$ das maximale Ideale von ${\displaystyle {}R}$. Bestimme eine Formel für die ${\displaystyle {}K}$-Dimension der Restklassenringe ${\displaystyle {}R/{\mathfrak {m}}^{n}}$ für ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} }$.

Es sei ${\displaystyle {}R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/I_{\Delta }}$ ein Stanley-Reisner-Ring der Dimension ${\displaystyle {}d}$ (d.h. die maximale Elementanzahl in einer Facette von ${\displaystyle {}\Delta }$ sei ${\displaystyle {}d}$) und ${\displaystyle {}{\mathfrak {m}}=(X_{1},\ldots ,X_{n})}$ das homogene maximale Ideal davon. Vergleiche die Größenordnung der Funktion

${\displaystyle \mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N} ,\,s\longmapsto \dim _{K}{\left(R/{\mathfrak {m}}^{s}\right)},}$

mit der entsprechenden Funktion für einen Polynomring in ${\displaystyle {}d}$ Variablen.

Sei ${\displaystyle {}R}$ ein kommutativer Ring. Zeige, dass ${\displaystyle {}R}$ genau dann ein lokaler Ring ist, wenn ${\displaystyle {}a+b}$ nur dann eine Einheit ist, wenn ${\displaystyle {}a}$ oder ${\displaystyle {}b}$ eine Einheit ist.

Sei ${\displaystyle {}R}$ ein kommutativer Ring. Zeige die Äquivalenz folgender Aussagen.

1. ${\displaystyle {}R}$ hat genau ein maximales Ideal
2. Die Menge der Nichteinheiten ${\displaystyle {}R\setminus R^{\times }}$ bildet ein Ideal in ${\displaystyle {}R}$.

Sei ${\displaystyle {}R}$ ein lokaler Ring mit Restekörper ${\displaystyle {}K}$. Zeige, dass ${\displaystyle {}R}$ und ${\displaystyle {}K}$ genau dann die gleiche Charakteristik haben, wenn ${\displaystyle {}R}$ einen Körper enthält.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein lokaler Ring und ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}}$ ein Ideal von ${\displaystyle {}R}$. Zeige, dass

${\displaystyle R^{\times }\longrightarrow {\left(R/{\mathfrak {a}}\right)}^{\times }}$

surjektiv ist.

Bestimme die Unterringe der rationalen Zahlen ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$, die lokal sind.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und ${\displaystyle {}R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$. Zeige, dass sämtliche Lokalisierungen von ${\displaystyle {}R}$ an maximalen Idealen zueinander isomorph sind.

Sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und betrachte das Achsenkreuz

${\displaystyle {}V=V(XY)\subseteq {\mathbb {A} }_{K}^{2}\,.}$

Bestimme für jeden Punkt ${\displaystyle {}P\in V}$, ob der lokale Ring an ${\displaystyle {}P}$ ein Integritätsbereich ist oder nicht.

Wir betrachten die Neilsche Parabel

${\displaystyle {}C=V(X^{2}-Y^{3})\subseteq {\mathbb {A} }_{K}^{2}\,}$

über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ${\displaystyle {}K}$. Zeige, dass sämtliche Lokalisierungen von ${\displaystyle {}C}$ an Punkten ${\displaystyle {}P\neq (0,0)}$ zueinander isomorph sind, aber nicht zur Lokalisierung im Nullpunkt.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ die Lokalisierung im Nullpunkt der Kurve

${\displaystyle {}C=V(Y^{2}-X^{2}-X^{3})\subseteq {\mathbb {A} }_{K}^{2}\,}$

und es sei ${\displaystyle {}S}$ die Lokalisierung des Achsenkreuzes im Nullpunkt. Sind diese beiden lokalen Ringe isomorph?

Sei ${\displaystyle {}R}$ ein kommutativer Ring und sei ${\displaystyle {}{\mathfrak {m}}}$ ein maximales Ideal mit Lokalisierung ${\displaystyle {}R_{\mathfrak {m}}}$. Es sei ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}}$ ein Ideal, dass unter der Lokalisierungsabbildung zum Kern gehört. Zeige, dass dann ${\displaystyle {}R_{\mathfrak {m}}}$ auch eine Lokalisierung von ${\displaystyle {}R/{\mathfrak {a}}}$ ist.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und ${\displaystyle {}R}$ eine endlich erzeugte ${\displaystyle {}K}$-Algebra. Es sei ${\displaystyle {}S=R_{\mathfrak {m}}}$ die Lokalisierung von ${\displaystyle {}R}$ an einem maximalen Ideal ${\displaystyle {}{\mathfrak {m}}}$. Zeige, dass der Restekörper von ${\displaystyle {}S}$ endlich über ${\displaystyle {}K}$ ist.

Sei ${\displaystyle {}R}$ ein kommutativer Ring, sei ${\displaystyle {}f\in R}$ und sei ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}}$ ein Ideal. Zeige, dass ${\displaystyle {}f\in {\mathfrak {a}}}$ genau dann gilt, wenn für alle Lokalisierungen ${\displaystyle {}R_{\mathfrak {p}}}$ gilt, dass ${\displaystyle {}f\in {\mathfrak {a}}R_{\mathfrak {p}}}$ ist.

Sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und seien ${\displaystyle {}R}$ und ${\displaystyle {}S}$ integre, endlich erzeugte ${\displaystyle {}K}$-Algebren. Es sei

${\displaystyle \varphi \colon R\longrightarrow S}$

ein ${\displaystyle {}K}$-Algebrahomomorphismus und ${\displaystyle {}{\mathfrak {n}}}$ ein maximales Ideal in ${\displaystyle {}S}$ mit ${\displaystyle {}\varphi ^{-1}({\mathfrak {n}})={\mathfrak {m}}}$. Die Abbildung induziere einen Isomorphismus ${\displaystyle {}R_{\mathfrak {m}}\rightarrow S_{\mathfrak {n}}}$. Zeige, dass es dann auch ein ${\displaystyle {}f\in R}$, ${\displaystyle {}f\not \in {\mathfrak {m}}}$, gibt derart, dass ${\displaystyle {}R_{f}\rightarrow S_{\varphi (f)}}$ ein Isomorphismus ist.

Sei ${\displaystyle {}R}$ ein kommutativer Ring und sei ${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}}$ ein Primideal. Dann ist der Restklassenring ${\displaystyle {}S=R/{\mathfrak {p}}}$ ein Integritätsbereich mit Quotientenkörper ${\displaystyle {}Q=Q(S)}$ und ${\displaystyle {}R_{\mathfrak {p}}}$ ist ein lokaler Ring mit dem maximalen Ideal ${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}}$. Zeige, dass eine natürliche Isomorphie

${\displaystyle {}Q(S)\cong R_{\mathfrak {p}}/{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}\,}$

vorliegt.

Es sei ${\displaystyle {}\Delta }$ ein simplizialer Komplex und ${\displaystyle {}R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/I_{\Delta }}$ der zugehörige Stanley-Reisner-Ring. Es sei ${\displaystyle {}P\in \Delta (K)}$ ein Punkt mit dem zugehörigen maximalen Ideal ${\displaystyle {}{\mathfrak {m}}_{P}\subseteq R}$. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.

1. ${\displaystyle {}P}$ ist ein glatter Punkt von ${\displaystyle {}\Delta (K)}$.
2. Die Lokalisierung ${\displaystyle {}R_{{\mathfrak {m}}_{P}}}$ ist ein Integritätsbereich.
3. Die Lokalisierung ${\displaystyle {}R_{{\mathfrak {m}}_{P}}}$ ist isomorph zu einer Lokalisierung eines Polynomringes an einem maximalen Ideal ist.

Es sei ${\displaystyle {}V{\left(f_{1},\ldots ,f_{s}\right)}\subseteq K^{n}}$ eine affin-algebraische Menge und ${\displaystyle {}g\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$. Zeige, dass durch

${\displaystyle \varphi \colon V\cap D(g)\longrightarrow W,\,\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)\longmapsto \left(x_{1},\ldots ,x_{n},{\frac {1}{g(x_{1},\ldots ,x_{n})}}\right),}$

eine stetige Bijektion mit

${\displaystyle {}W=V{\left(f_{1},\ldots ,f_{s},gY-1\right)}\subseteq K^{n+1}\,}$

gegeben ist.

Zeige, dass in der Situation von Aufgabe 4.32 ein Punkt ${\displaystyle {}P\in V}$ genau dann glatt ist, wenn ${\displaystyle {}\varphi (P)\in W}$ glatt ist.