Es sei ${\displaystyle {}\Delta }$ ein simplizialer Komplex und ${\displaystyle {}R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/I_{\Delta }}$ der zugehörige Stanley-Reisner-Ring. Es sei ${\displaystyle {}P\in \Delta (K)}$ ein Punkt mit dem zugehörigen maximalen Ideal ${\displaystyle {}{\mathfrak {m}}_{P}\subseteq R}$. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.

1. ${\displaystyle {}P}$ ist ein glatter Punkt von ${\displaystyle {}\Delta (K)}$.
2. Die Lokalisierung ${\displaystyle {}R_{{\mathfrak {m}}_{P}}}$ ist ein Integritätsbereich.
3. Die Lokalisierung ${\displaystyle {}R_{{\mathfrak {m}}_{P}}}$ ist isomorph zu einer Lokalisierung eines Polynomringes an einem maximalen Ideal ist.