a) Die Grundfläche der Pfanne ist ${\displaystyle {}15^{2}\pi =225\pi }$ und die Grundfläche einer Bratkartoffel ist ${\displaystyle {}2^{2}\pi =4\pi }$ (in Quadratzentimetern). Daher werden ${\displaystyle {}25\cdot 4=100\pi }$ Quadratzentimeter von den Kartoffeln bedeckt und ${\displaystyle {}125\pi }$ Quadratzentimeter nicht. Daher ist die Ölmenge in Kubikzentimetern

${\displaystyle {}100\pi \cdot 0{,}01+125\pi \cdot 0{,}1=\pi +12{,}5\pi =13{,}5\pi \cong 13{,}5\cdot 3{,}14=42{,}39\,.}$

In der Pfanne befindet sich also ${\displaystyle {}42{,}39}$ Kubikzentimeter Öl.

b) Es wurde dabei die Formel für die Kreisfläche (für die Grundfläche der Pfanne und der Kartoffeln), die Produktformel für das Maß (bei der Berechnung der Ölmenge aus Grundfläche und Höhe) einer Produktmenge und das Additivitätsprinzip für disjunkte Teilmengen (bei der Zerlegung in den bedeckten und den unbedeckten Teil) angewendet.

a) Die Summe ist ein Maß. Für eine disjunkte abzählbare Vereinigung ${\displaystyle {}T=\bigcup _{i\in I}T_{i}}$ gilt

${\displaystyle {}{\begin{aligned}(\mu +\nu )(T)&=\mu (T)+\nu (T)\\&={\left(\sum _{i\in I}\mu (T_{i})\right)}+{\left(\sum _{i\in I}\nu (T_{i})\right)}\\&=\sum _{i\in I}{\left(\mu (T_{i})+\nu (T_{i})\right)}\\&=\sum _{i\in I}(\mu +\nu )(T_{i}),\end{aligned}}}$

wobei im vorletzten Schritt der große Umordnungssatz verwendet wurde.

b) Durch das Maximum ergibt sich im Allgemeinen kein Maß. Dazu sei beispielsweise

${\displaystyle {}T=\{x,y\}\,}$

eine zweielementige Menge und ${\displaystyle {}\mu }$ sei das in ${\displaystyle {}x}$ konzentrierte Dirac-Maß und ${\displaystyle {}\nu }$ sei das in ${\displaystyle {}y}$ konzentrierte Dirac-Maß. Dann ist

${\displaystyle {}\mu (T)=\nu (T)=1\,}$

und damit ist auch das Maximum davon ${\displaystyle {}1}$. Ferner ist

${\displaystyle {}{\max {\left(\mu (\{x\}),\nu (\{x\})\right)}}={\max {\left(1,0\right)}}=1\,}$

und ebenso ${\displaystyle {}{\max {\left(\mu (\{y\}),\nu (\{y\})\right)}}=1}$. Würde ein Maß vorliegen, so müsste also

${\displaystyle {}{\max {\left(\mu ,\nu \right)}}(T)={\max {\left(\mu ,\nu \right)}}(\{x\}\cup \{y\})=1+1=2\,}$

sein.

a) Es sei ${\displaystyle {}x}$ ein Häufungspunkt von ${\displaystyle {}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }}$. Dann gibt es eine gegen ${\displaystyle {}x}$ konvergente Teilfolge. Nach dem Folgenkriterium für die Stetigkeit konvergiert die Bildfolge dieser Teilfolge gegen ${\displaystyle {}f(x)}$, so dass ${\displaystyle {}f(x)}$ ein Häufungspunkt der Bildfolge ist.

b) Zu einer beschränkten Menge ${\displaystyle {}H}$ unter einer stetigen Abbildung

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} }$

ist stets

${\displaystyle {}f{\left({\operatorname {sup} \,(H)}\right)}\leq {\operatorname {sup} \,(f(H))}\,,}$

da es eine Folge in ${\displaystyle {}H}$ gibt, die gegen das Supremum ${\displaystyle {}s}$ von ${\displaystyle {}H}$ konvergiert. Die Bildfolge davon konvergiert gegen ${\displaystyle {}f(s)\leq {\operatorname {sup} \,(f(H))}}$. Wenn speziell ${\displaystyle {}H}$ die Menge der Häufungspunkte ist, so ergibt sich daraus und aus Teil a) die Abschätzung

${\displaystyle {}f{\left(\operatorname {lim} \operatorname {sup} \,{\left({\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\right)}\right)}=f{\left({\operatorname {sup} \,(H)}\right)}\leq {\operatorname {sup} \,(f(H))}\leq {\operatorname {sup} \,(G)}=\operatorname {lim} \operatorname {sup} \,{\left({\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\right)}\,.}$

c) Wir betrachten die Folge ${\displaystyle {}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }}$, die für gerade Indizes den Wert ${\displaystyle {}1}$ und für ungerade den Wert ${\displaystyle {}-2}$ besitzt. Die Häufungspunkte sind also ${\displaystyle {}\{-2,1\}}$, der Limes superior davon ist ${\displaystyle {}1}$. Es sei ${\displaystyle {}f(x)=x^{2}}$. Die Bildfolge schwankt zwischen ${\displaystyle {}1}$ und ${\displaystyle {}4}$ und somit ist der Limes superior der Bildfolge gleich ${\displaystyle {}4}$. Das ist echt größer als ${\displaystyle {}f(1)=1}$.

Wir berechnen zuerst die Länge und die Breite der Querschnittsebene des Bootes zu einer Höhe ${\displaystyle {}h}$ über der Grundseite. Für die Länge gilt

${\displaystyle {}L(h)=h+10\,,}$

da die Abhängigkeit von der Höhe linear ist. Für die Breite gilt

${\displaystyle {}B(h)={\frac {1}{2}}h+2\,.}$

Daher ist der Flächeninhalt der Querschnittsfläche gleich

${\displaystyle {}Q(h)=L(h)\cdot B(h)={\left(h+10\right)}{\left({\frac {1}{2}}h+2\right)}={\frac {1}{2}}h^{2}+7h+20\,}$

Nach dem Cavalieri-Prinzip ist daher das Volumen (in Kubikmetern) des Bootes von der Grundseite bis zur Höhe ${\displaystyle {}g}$ gleich

${\displaystyle {}V(g)=\int _{0}^{g}{\frac {1}{2}}h^{2}+7h+20\,dh={\frac {1}{6}}g^{3}+{\frac {7}{2}}g^{2}+20g\,.}$

Für ${\displaystyle {}g=1{,}5}$ ergibt sich

${\displaystyle {}{\begin{aligned}V(1{,}5)&={\frac {1}{6}}\cdot 1{,}5^{3}+{\frac {7}{2}}\cdot 1{,}5^{2}+20\cdot 1{,}5\\&=0{,}25\cdot 2{,}25+{\frac {7}{2}}\cdot 2{,}25+30\\&=0{,}5625+7{,}875+30\\&=38{,}4375\end{aligned}}}$

in Kubikmetern. Der Auftrieb ist gleich dem Gewicht des verdrängten Wasservolumens. Also darf das Schiff maximal ${\displaystyle {}38{,}4375}$ Tonnen wiegen, so dass es eine Ladung von ${\displaystyle {}26{,}4375}$ Tonnen befördern kann.

Wir zeigen zuerst, dass die Zuordnung

${\displaystyle {\mathcal {A}}\otimes {\mathcal {B}}\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }},\,T\longmapsto \int _{M}\nu (T(x))\,d\mu (x),}$

ein Maß auf der Produkt-${\displaystyle {}\sigma }$-Algebra ist. Sei dazu ${\displaystyle {}T=\biguplus _{i\in I}T_{i}}$ eine abzählbare Zerlegung in paarweise disjunkte messbare Teilmengen. Nach Aufgabe ***** ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\int _{M}\nu (T(x))\,d\mu &=\int _{M}\nu {\left({\left(\biguplus _{i\in I}T_{i}\right)}(x)\right)}\,d\mu \\&=\int _{M}\nu {\left(\biguplus _{i\in I}T_{i}(x)\right)}\,d\mu \\&=\int _{M}\sum _{i\in I}\nu (T_{i}(x))\,d\mu \\&=\sum _{i\in I}\int _{M}\nu (T_{i}(x))\,d\mu ,\end{aligned}}}$

so dass die ${\displaystyle {}\sigma }$-Additivität erfüllt ist.
Für einen Quader ${\displaystyle {}A\times B}$ ist

${\displaystyle {}\int _{M}\nu ((A\times B)(x))\,d\mu =\int _{A}\nu (B)\,d\mu =\mu (A)\cdot \nu (B)\,.}$

Aufgrund des Eindeutigkeitssatzes für das Produktmaß muss daher das durch das Integral definierte Maß mit dem Produktmaß übereinstimmen.

Es sei ${\displaystyle {}P={\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}}$ und ${\displaystyle {}v={\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}}}$. Beide Vektoren sind normiert und stehen senkrecht aufeinander, da die Tangentialebene an die Sphäre senkrecht auf dem Ortsvektor steht. Wir betrachten den Weg

${\displaystyle \gamma \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{3}}$

mit

${\displaystyle {}\gamma (t)={\left(\cos t\right)}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}+{\left(\sin t\right)}{\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}}\,.}$

Es ist

${\displaystyle {}\Vert {\gamma (t)}\Vert =\cos ^{2}t+\sin ^{2}t=1\,,}$

der Weg verläuft also ganz auf der Sphäre. Ferner ist

${\displaystyle {}\gamma (0)={\left(\cos 0\right)}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}+{\left(\sin 0\right)}{\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\,}$

und

${\displaystyle {}\gamma '(0)=-{\left(\sin 0\right)}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}+{\left(\cos 0\right)}{\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}}\,.}$

Wir wählen ${\displaystyle {}M=\mathbb {R} }$ und ${\displaystyle {}N=\mathbb {R} ^{2}}$ und

${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,x\longmapsto (x,0),}$

und

${\displaystyle \psi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x.}$

Dann ist

${\displaystyle {}{\left(\psi \circ \varphi \right)}(x)=\psi ((x,0))=x\,}$

und

${\displaystyle {}{\left(\varphi \circ \psi \right)}((x,y))=\varphi (x)=(x,0)\,.}$

Zu jedem Punkt ${\displaystyle {}P\in M}$ wählen wir eine offene Kartenumgebung ${\displaystyle {}P\in U_{P}}$ mit einer Karte

${\displaystyle \alpha _{P}\colon U_{P}\longrightarrow V_{P}}$

mit ${\displaystyle {}V_{P}\subseteq \mathbb {R} ^{d}}$. Dabei können wir annehmen, indem wir zu einer Ballumgebung von ${\displaystyle {}\alpha _{P}(P)\in V_{P}}$ und dessen Urbild übergehen, dass die ${\displaystyle {}V_{p}}$ offene Bälle sind, deren Radius maximal ${\displaystyle {}{\frac {1}{3}}}$ ist. Die ${\displaystyle {}U_{P}}$, ${\displaystyle {}P\in M}$, überdecken die Mannigfaltigkeit. Wegen der Kompaktheit von ${\displaystyle {}M}$ gibt es endlich viele Punkte ${\displaystyle {}P_{1},\ldots ,P_{n}}$ derart, dass auch ${\displaystyle {}U_{i}=U_{P_{i}}}$, ${\displaystyle {}i=1,\ldots ,n}$, die Mannigfaltigkeit überdecken. Wir platzieren die offenen Bälle ${\displaystyle {}V_{i}=V_{P_{i}}}$ in („einem neuen“) ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{d}}$, und zwar mit den Mittelpunkten

${\displaystyle (1,0,\ldots ,0),(2,0,\ldots ,0),\ldots ,(n,0,\ldots ,0).}$

Wegen der Radiusbedingung sind diese Bälle zueinander disjunkt. Wir betrachten die beschränkte offene Menge ${\displaystyle {}U=\bigcup _{i=1}^{n}V_{i}}$. Die Kartenabbildungen ${\displaystyle {}\alpha _{i}}$ liefern stetige Abbildungen

${\displaystyle \varphi _{i}:V_{i}{\stackrel {{\left(\alpha _{i}\right)}^{-1}}{\longrightarrow }}U_{i}\longrightarrow M.}$

Wegen der Disjunktheit ergibt sich daraus durch ${\displaystyle {}\varphi (z)=\varphi _{i}(z)}$, falls ${\displaystyle {}z\in V_{i}}$ ist, eine stetige Abbildung

${\displaystyle \varphi \colon U\longrightarrow M.}$

Wegen der Überdeckungseigenschaft ist diese surjektiv.

a) Die zurückgezogene Differentialform ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\varphi ^{*}(xdx-zdy+dz)&=u^{2}du^{2}-(-u+v^{2})duv+d(-u+v^{2})\\&=2u^{3}du+(u-v^{2})(vdu+udv)-du+2vdv\\&=(2u^{3}+uv-v^{3}-1)du+(u^{2}-uv^{2}+2v)dv.\end{aligned}}}$

b) Das Wegintegral ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\int _{1}^{2}(2t^{3}+1-t^{-3}-1)dt+(t^{2}-t^{-1}+2t^{-1})dt^{-1}&=\int _{1}^{2}(2t^{3}-t^{-3})dt+(t^{2}+t^{-1})dt^{-1}\\&=\int _{1}^{2}(2t^{3}-t^{-3})dt-(1+t^{-3})dt\\&=\int _{1}^{2}(2t^{3}-2t^{-3}-1)dt\\&={\left({\frac {1}{2}}t^{4}+t^{-2}-t\right)}|_{1}^{2}\\&=8+{\frac {1}{4}}-2-{\frac {1}{2}}-1+1\\&=5+{\frac {3}{4}}.\end{aligned}}}$

c) Der verknüpfte Weg ist

${\displaystyle {}\psi (t)=(t^{2},1,-t+t^{-2})\,.}$

Somit ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\int _{1}^{2}\psi ^{*}(xdx-zdy+dz)&=\int _{1}^{2}t^{2}dt^{2}+d(-t+t^{-2})\\&=\int _{1}^{2}(2t^{3}-1-2t^{-3})dt\\&=5+{\frac {3}{4}}.\end{aligned}}}$

Da beide Seiten dieser Gleichung linear in ${\displaystyle {}\omega }$ sind, können wir annehmen, dass ${\displaystyle {}\omega }$ die Gestalt ${\displaystyle {}\omega =fdx_{2}\wedge \ldots \wedge dx_{n}}$ mit einer in einer offenen Umgebung von ${\displaystyle {}Q}$ definierten stetig differenzierbaren Funktion ${\displaystyle {}f}$ besitzt. Die Integrale sind links und rechts Lebesgue-Integrale zu stetigen Funktionen auf Teilmengen des ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{n}}$ bzw. ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{n-1}}$. Daher können wir auf beiden Seiten zum topologischen Abschluss übergehen, da dadurch die in Frage stehenden Integrationsbereiche nur um eine Nullmenge verändert werden, so dass dies die Integrale nicht ändert.

Wir schreiben den abgeschlossenen Quader als ${\displaystyle {}{\overline {Q}}=[a,b]\times {\tilde {Q}}}$. Wir wenden Fakt ***** auf jede Seite ${\displaystyle {}S}$ ausgenommen ${\displaystyle {}a\times {\tilde {Q}}}$ und ${\displaystyle {}b\times {\tilde {Q}}}$ an und erhalten darauf

${\displaystyle {}\int _{S}\omega =\int _{S}fdx_{2}\wedge \ldots \wedge dx_{n}=\int _{S}0=0\,,}$

da auf diesen Seiten jeweils eine der Variablen ${\displaystyle {}x_{2},\ldots ,x_{n}}$ konstant ist. Aufgrund des Satzes von Fubini und des Hauptsatzes der Infinitesimalrechnung (angewendet auf jedes fixierte ${\displaystyle (x_{2},\ldots ,x_{n})}$) gilt

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\int _{Q}d\omega &=\int _{Q}df\wedge dx_{2}\wedge \ldots \wedge dx_{n}\\&=\int _{Q}{\left(\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}dx_{j}\right)}\wedge dx_{2}\wedge \ldots \wedge dx_{n}\\&=\int _{Q}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}dx_{1}\wedge dx_{2}\wedge \ldots \wedge dx_{n}\\&=\int _{\tilde {Q}}{\left(\int _{[a,b]}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}dx_{1}\right)}dx_{2}\wedge \ldots \wedge dx_{n}\\&=\int _{\tilde {Q}}{\left(f(b,x_{2},\ldots ,x_{n})-f(a,x_{2},\ldots ,x_{n})\right)}dx_{2}\wedge \ldots \wedge dx_{n}\\&=\int _{b\times {\tilde {Q}}}fdx_{2}\wedge \ldots \wedge dx_{n}-\int _{a\times {\tilde {Q}}}fdx_{2}\wedge \ldots \wedge dx_{n}\\&=\sum _{S{\text{ orientierte Seite von }}Q}\int _{S}fdx_{2}\wedge \ldots \wedge dx_{n}\\&=\int _{\partial Q}fdx_{2}\wedge \ldots \wedge dx_{n}\\&=\int _{\partial Q}\omega .\end{aligned}}}$