Analysis 3/Gemischte Definitionsabfrage/20/Aufgabe/Lösung

Ein Teilmengensystem ${}{\mathcal {A}}$ ${}{\mathcal {A}}$ auf ${}M$ ${{}} M$ heißt ${}\sigma$ ${}\sigma$ -Algebra, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind.
1. Es ist ${}M\in {\mathcal {A}}$ .
2. Mit ${}T\in {\mathcal {A}}$ gehört auch das Komplement ${}M\setminus T$ zu ${}{\mathcal {A}}$ .
3. Für jede abzählbare Familie ${}T_{i}\in {\mathcal {A}}$ , ${}i\in I$ , ist auch
  $\bigcup _{i\in I}T_{i}\in {\mathcal {A}}.$
Das Borel-Lebesgue-Maß auf ${}\mathbb {R} ^{n}$ ist das (eindeutig bestimmte) Maß ${}\lambda$ auf ${}(\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}^{n})$ , das für jeden Quader der Form ${}Q=[a_{1},b_{1}]\times \cdots \times [a_{n},b_{n}]$ den Wert ${}\lambda (Q)=(b_{1}-a_{1})\cdots (b_{n}-a_{n})$ besitzt.
Es sei ${}H$ die Menge der Häufungspunkte der Folge ${}x_{n}$ . Dann setzt man
${}\operatorname {lim} \operatorname {sup} \,{\left((x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\right)}={\operatorname {sup} \,(H)}\,$

und nennt diese Zahl (eventuell ${}+\infty$ ) den Limes superior der Folge.
Der Kegel zur Basis ${}B$ mit der Spitze ${}P$ ist definiert durch
${}K_{B}={\left\{P+t(Q-P)\mid Q\in B,\,t\in [0,1]\right\}}\,.$
Die beiden Kurven ${}\gamma _{1}$ und ${}\gamma _{2}$ heißen tangential äquivalent in ${}P$ , wenn es eine offene Umgebung ${}P\in U$ und eine Karte
$\alpha \colon U\longrightarrow V$

mit ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ derart gibt, dass

${}{\left(\alpha \circ {\left(\gamma _{1}{|}_{\gamma _{1}^{-1}(U)}\right)}\right)}'(0)={\left(\alpha \circ {\left(\gamma _{2}{|}_{\gamma _{2}^{-1}(U)}\right)}\right)}'(0)\,$
gilt.
Der Punkt ${}Q\in L$ heißt regulär für ${}\varphi$ , wenn die Tangentialabbildung
$T_{Q}(\varphi )\colon T_{Q}L\longrightarrow T_{\varphi (Q)}M$

im Punkt ${}Q$ maximalen Rang besitzt.
Es seien
$\alpha _{1}\colon U_{1}\longrightarrow V_{1}$

und

$\alpha _{2}\colon U_{2}\longrightarrow V_{2}$

orientierte Karten von ${}M$ . Der zugehörige Kartenwechsel

$\psi =\alpha _{2}\circ \alpha _{1}^{-1}\colon V_{1}\cap \alpha _{1}(U_{1}\cap U_{2})\longrightarrow V_{2}\cap \alpha _{2}(U_{1}\cap U_{2})$

heißt orientierungstreu, wenn für jeden Punkt ${}Q\in V_{1}\cap \alpha _{1}(U_{1}\cap U_{2})$ das totale Differential

$\left(D\psi \right)_{Q}\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

orientierungstreu ist.
Die Form ${}\omega$ besitzt auf ${}U$ eine Darstellung
$\omega =\sum _{I\subseteq \{1,\ldots ,n\},\,{\#\left(I\right)}=k}f_{I}dx_{I}$

mit stetig differenzierbaren Funktionen

$f_{I}\colon U\longrightarrow \mathbb {R} .$

Dann ist die äußere Ableitung die ${}(k+1)$ -Form

${}d\omega =\sum _{I\subseteq \{1,\ldots ,n\},\,{\#\left(I\right)}=k}df_{I}\wedge dx_{I}=\sum _{I\subseteq \{1,\ldots ,n\},\,{\#\left(I\right)}=k}{\left(\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial f_{I}}{\partial x_{j}}}dx_{j}\right)}\wedge dx_{I}\,.$

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