Es seien ${\displaystyle {}V}$ und ${\displaystyle {}W}$ endlichdimensionale ${\displaystyle {}{\mathbb {K} }}$-Vektorräume, ${\displaystyle {}G\subseteq V}$ eine offene Menge und ${\displaystyle {}\varphi \colon G\rightarrow W}$ eine Abbildung. Dann heißt ${\displaystyle {}\varphi }$ differenzierbar (oder total differenzierbar ) im Punkt ${\displaystyle {}P\in G}$, wenn es eine ${\displaystyle {}{\mathbb {K} }}$-lineare Abbildung ${\displaystyle {}L\colon V\rightarrow W}$ mit der Eigenschaft

${\displaystyle {}\varphi (P+v)=\varphi (P)+L(v)+\Vert {v}\Vert r(v)\,}$

gibt, wobei ${\displaystyle {}r\colon U{\left(0,\delta \right)}\rightarrow W}$ eine in ${\displaystyle {}0}$ stetige Abbildung mit ${\displaystyle {}r(0)=0}$ ist und die Gleichung für alle ${\displaystyle {}v\in V}$ mit ${\displaystyle {}P+v\in U{\left(P,\delta \right)}\subseteq G}$ gilt.

Diese lineare Abbildung ${\displaystyle {}L}$ heißt, falls sie existiert, das (totale) Differential von ${\displaystyle {}\varphi }$ an der Stelle ${\displaystyle {}P}$ und wird mit

${\displaystyle \left(D\varphi \right)_{P}}$

bezeichnet.