Sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und ${\displaystyle {}V=(V,+,0)}$ eine kommutative Gruppe. Man nennt ${\displaystyle {}V}$ einen ${\displaystyle {}K}$-Vektorraum, wenn eine Abbildung

${\displaystyle K\times V\longrightarrow V,\,(r,v)\longmapsto rv=r\cdot v,}$

erklärt ist, die folgende Axiome erfüllt (dabei seien ${\displaystyle {}r,s\in K}$ und ${\displaystyle {}u,v\in V}$ beliebig) .

1. ${\displaystyle {}1u=u}$.
2. ${\displaystyle {}r(su)=(rs)u}$.
3. ${\displaystyle {}r(u+v)=ru+rv}$.
4. ${\displaystyle {}(r+s)u=ru+su}$.