a) Die Summe ist ein Maß. Für eine disjunkte abzählbare Vereinigung ${\displaystyle {}T=\bigcup _{i\in I}T_{i}}$ gilt

${\displaystyle {}{\begin{aligned}(\mu +\nu )(T)&=\mu (T)+\nu (T)\\&={\left(\sum _{i\in I}\mu (T_{i})\right)}+{\left(\sum _{i\in I}\nu (T_{i})\right)}\\&=\sum _{i\in I}{\left(\mu (T_{i})+\nu (T_{i})\right)}\\&=\sum _{i\in I}(\mu +\nu )(T_{i}),\end{aligned}}}$

wobei im vorletzten Schritt der große Umordnungssatz verwendet wurde.

b) Durch das Maximum ergibt sich im Allgemeinen kein Maß. Dazu sei beispielsweise

${\displaystyle {}T=\{x,y\}\,}$

eine zweielementige Menge und ${\displaystyle {}\mu }$ sei das in ${\displaystyle {}x}$ konzentrierte Dirac-Maß und ${\displaystyle {}\nu }$ sei das in ${\displaystyle {}y}$ konzentrierte Dirac-Maß. Dann ist

${\displaystyle {}\mu (T)=\nu (T)=1\,}$

und damit ist auch das Maximum davon ${\displaystyle {}1}$. Ferner ist

${\displaystyle {}{\max {\left(\mu (\{x\}),\nu (\{x\})\right)}}={\max {\left(1,0\right)}}=1\,}$

und ebenso ${\displaystyle {}{\max {\left(\mu (\{y\}),\nu (\{y\})\right)}}=1}$. Würde ein Maß vorliegen, so müsste also

${\displaystyle {}{\max {\left(\mu ,\nu \right)}}(T)={\max {\left(\mu ,\nu \right)}}(\{x\}\cup \{y\})=1+1=2\,}$