Es seien ${\displaystyle {}L}$ und ${\displaystyle {}M}$ zwei ${\displaystyle {}C^{k}}$-Mannigfaltigkeiten mit Atlanten ${\displaystyle {}(U_{i},U_{i}',\alpha _{i},i\in I)}$ und ${\displaystyle {}(V_{j},V_{j}',\beta _{j},j\in J)}$. Es sei ${\displaystyle {}1\leq \ell \leq k}$. Eine stetige Abbildung

${\displaystyle \varphi \colon L\longrightarrow M}$

heißt eine ${\displaystyle {}C^{\ell }}$-differenzierbare Abbildung, wenn für alle ${\displaystyle {}i\in I}$ und alle ${\displaystyle {}j\in J}$ die Abbildungen

${\displaystyle \beta _{j}\circ \varphi \circ (\alpha _{i})^{-1}\colon \alpha _{i}(\varphi ^{-1}(V_{j})\cap U_{i})\longrightarrow V_{j}'}$

${\displaystyle {}C^{\ell }}$-differenzierbar sind.