Seien ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} }$ und ${\displaystyle {}k\in {\overline {\mathbb {N} }}_{+}}$. Ein topologischer Hausdorff-Raum ${\displaystyle {}M}$ zusammen mit einer offenen Überdeckung ${\displaystyle {}M=\bigcup _{i\in I}U_{i}}$ und Karten

${\displaystyle \alpha _{i}\colon U_{i}\longrightarrow V_{i},}$

wobei die ${\displaystyle {}V_{i}\subseteq H\subset \mathbb {R} ^{n}}$ offene Mengen im euklidischen Halbraum ${\displaystyle {}H}$ der Dimension ${\displaystyle {}n}$ sind, und mit der Eigenschaft, dass die Übergangsabbildungen

${\displaystyle \alpha _{j}\circ \alpha _{i}^{-1}\colon V_{i}\cap \alpha _{i}(U_{i}\cap U_{j})\longrightarrow V_{j}\cap \alpha _{j}(U_{i}\cap U_{j})}$

${\displaystyle {}C^{k}}$-Diffeomorphismen sind, heißt ${\displaystyle {}C^{k}}$-Mannigfaltigkeit mit Rand oder differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand (vom Grad ${\displaystyle {}k}$), oder berandete Mannigfaltigkeit. Die Menge der Karten ${\displaystyle {}(U_{i},\alpha _{i})}$, ${\displaystyle {}i\in I}$, nennt man auch den ${\displaystyle {}C^{k}}$-Atlas der berandeten Mannigfaltigkeit.