Es sei ${\displaystyle {}\varphi \colon M\rightarrow N}$ ein Monoidhomomorphismus zwischen kommutativen Monoiden und sei die Äquivalenzrelation ${\displaystyle {}\sim }$ auf ${\displaystyle {}M}$ durch ${\displaystyle {}\mu \sim \nu }$, falls ${\displaystyle {}\varphi (\mu )=\varphi (\nu )}$ ist, definiert. Zeige, dass ${\displaystyle {}\sim }$ mit der Verknüpfung verträglich ist.

Es sei ${\displaystyle {}(M,+,0)}$ eine kommutative Gruppe und ${\displaystyle {}\sim }$ eine Äquivalenzrelation auf ${\displaystyle {}M}$. Zeige, dass ${\displaystyle {}\sim }$ genau dann mit der Verknüpfung verträglich ist, wenn es eine Untergruppe ${\displaystyle {}H\subseteq M}$ derart gibt, dass ${\displaystyle {}\mu \sim \nu }$ genau dann gilt, wenn ${\displaystyle {}\mu -\nu \in H}$ ist.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ eine Relation auf einem kommutativen Monoid ${\displaystyle {}M}$. Zeige, dass es eine kleinste, mit der Verknüpfung verträgliche Äquivalenzrelation auf ${\displaystyle {}M}$ gibt, die ${\displaystyle {}R}$ umfasst.

Es sei ${\displaystyle {}M}$ ein kommutatives Monoid. Zeige, dass die von einer einzigen Relation ${\displaystyle {}\alpha \sim \beta }$ erzeugte mit der Verknüpfung verträgliche Äquivalenzrelation auf ${\displaystyle {}M}$ folgendermaßen gegeben ist: Es ist ${\displaystyle {}x\sim y}$ genau dann, wenn es eine Kette

${\displaystyle x_{1}=x,\ldots ,x_{n}=y}$

gibt, wobei es für jedes ${\displaystyle {}i}$ ein ${\displaystyle {}r\in \mathbb {N} }$ und ein ${\displaystyle {}\gamma \in M}$ mit ${\displaystyle {}x_{i}=r\alpha +\gamma }$ und ${\displaystyle {}x_{i+1}=r\beta +\gamma }$ (oder umgekehrt) ist.

Es sei ${\displaystyle {}\sim }$ eine mit der Verknüpfung verträgliche Äquivalenzrelation auf einem kommutativen Monoid. Zeige, dass es auf der Quotientenmenge ${\displaystyle {}M/\sim }$ eine eindeutig bestimmte Verknüpfung derart gibt, dass die kanonische Projektion ${\displaystyle {}M\rightarrow M/\sim }$ ein Monoidhomomorphismus ist.

Finde eine Realisierung des Monoids ${\displaystyle {}\mathbb {N} ^{2}/2e\sim 4f}$ als Untermonoid von ${\displaystyle {}\mathbb {N} \times \mathbb {Z} /(2)}$.

Seien ${\displaystyle {}M\subseteq N}$ kommutative Monoide. Zeige, dass durch

${\displaystyle {}{\tilde {M}}={\left\{n\in N\mid {\text{es gibt }}k\in \mathbb {N} _{+}{\text{ mit }}kn\in M\right\}}\,}$

ein Untermonoid von ${\displaystyle {}N}$ gegeben ist, das ${\displaystyle {}M}$ umfasst.

Man gebe ein Beispiel eines Untermonoids ${\displaystyle {}M\subseteq \mathbb {N} ^{2}}$, das nicht endlich erzeugt ist.

Berechne

${\displaystyle {\left(4T^{(-1,3)}-6T^{(-2,5)}+5T^{(0,-2)}+3T^{(-1,1)}\right)}\cdot {\left(-7T^{(1,0)}+8T^{(4,5)}-4T^{(-3,5)}+6T^{(3,-1)}\right)}}$

im Monoidring ${\displaystyle {}K[\mathbb {Z} ^{2}]}$.

Berechne

${\displaystyle {\left(4T^{0}-9T^{1}+9T^{2}+7T^{3}-4T^{4}\right)}\cdot {\left(4T^{0}-T^{1}+5T^{2}+7T^{3}-T^{4}\right)}}$

im Monoidring ${\displaystyle {}K[\mathbb {Z} /(5)]}$.

Zeige, dass die Multiplikation auf einem Monoidring zu einem kommutativen Monoid das Assoziativgesetz und das Distributivgesetz erfüllt.

Es sei ${\displaystyle {}M}$ ein kommutatives Monoid und es sei ${\displaystyle {}e\in M}$ ein Element mit ${\displaystyle {}2e=e}$. Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und es sei ${\displaystyle {}K[M]}$ der zugehörige Monoidring. Zeige, dass ${\displaystyle {}T^{e}}$ ein idempotentes Element in ${\displaystyle {}K[M]}$ ist.

Es sei ${\displaystyle {}G}$ eine endliche Gruppe ${\displaystyle {}G\neq 0}$. Zeige, dass der Monoidring ${\displaystyle {}\mathbb {C} [G]}$ nicht zusammenhängend ist, obwohl es in der Gruppe außer ${\displaystyle {}0}$ kein Element ${\displaystyle {}e}$ gibt, das die Gleichung ${\displaystyle {}2e=e}$ erfüllt.

Es sei

${\displaystyle {}G=\mathbb {Z} ^{r}\times \mathbb {Z} /(n_{1})\times \mathbb {Z} /(n_{2})\times \cdots \times \mathbb {Z} /(n_{s})\,}$

eine endlich erzeugte kommutative Gruppe (mit ${\displaystyle {}n_{1},\ldots ,n_{s}\in \mathbb {N} _{\geq 2}}$) und sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper. Beschreibe den Gruppenring ${\displaystyle {}K[G]}$ durch Variablen und Relationen. Zeige, dass (unter gewissen Voraussetzungen an den Körper) das entsprechende Nullstellengebilde glatt ist.

Zeige, dass man den Koordinatenring zum Standardkegel ${\displaystyle {}V(Z^{2}-X^{2}-Y^{2})}$ über ${\displaystyle {}\mathbb {C} }$ als einen Monoidring realisieren kann.

Sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper. Finde ein kommutatives Monoid ${\displaystyle {}M}$ derart, dass eine Isomorphie

${\displaystyle {}K[M]\cong K[X,Y,U,V]/(UX-VY)\,}$

vorliegt.

Sei ${\displaystyle {}M}$ ein kommutatives Monoid und ${\displaystyle {}K}$ ein Körper. Es sei ${\displaystyle {}m\in M}$ und ${\displaystyle {}T^{m}\in K[M]}$. Zeige, dass ${\displaystyle {}m}$ genau dann eine Einheit in ${\displaystyle {}M}$ ist, wenn ${\displaystyle {}T^{m}}$ eine Einheit in ${\displaystyle {}K[M]}$ ist.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein kommutativer Ring und ${\displaystyle {}M,N}$ kommutative Monoide. Zu einem Monoidhomomorphismus ${\displaystyle {}\varphi \colon M\rightarrow N}$ werde der zugehörige ${\displaystyle {}R}$-Algebrahomomorphismus

${\displaystyle R[M]\longrightarrow R[N]}$

im Sinne von Korollar 6.8 mit ${\displaystyle {}R[\varphi ]}$ bezeichnet. Zeige die folgenden Eigenschaften.

1. Zur Identität ${\displaystyle {}\operatorname {Id} _{M}}$ ist auch ${\displaystyle {}R[\operatorname {Id} _{M}]}$ die Identität.
2. Für eine Hintereinanderschaltung von Monoidhomomorphismen ist

   ${\displaystyle {}R[\varphi \circ \psi ]=R[\varphi ]\circ R[\psi ]\,.}$

Sei ${\displaystyle {}M}$ ein kommutatives Monoid und ${\displaystyle {}R}$ ein kommutativer Ring. Charakterisiere, für welche Teilmengen ${\displaystyle {}I\subseteq M}$ die Teilmenge

${\displaystyle {}R[I]=\bigoplus _{m\in I}T^{m}\subseteq R[M]\,}$

ein Ideal in ${\displaystyle {}R[M]}$ ist.

Sei ${\displaystyle {}R}$ ein kommutativer Ring. Beweise die ${\displaystyle {}R}$-Algebraisomorphie

${\displaystyle {}R[\mathbb {Z} ^{n}]\cong R[X_{1},\ldots ,X_{n}]_{X_{1}\cdots X_{n}}\,}$

mit Hilfe der universellen Eigenschaften von Monoidringen und Nenneraufnahmen.

Sei ${\displaystyle {}M}$ ein kommutatives Monoid und sei ${\displaystyle {}f\in M}$. Wir betrachten die Menge

${\displaystyle {}M_{f}={\left\{m-nf\mid m\in M,\,n\in \mathbb {N} \right\}}/\sim \,,}$

wobei die Relation

${\displaystyle {}m-nf\sim m'-n'f\,}$

genau dann gilt, wenn es ein ${\displaystyle {}k\in \mathbb {N} }$ derart gibt, dass

${\displaystyle {}m+n'f+kf=m'+nf+kf\,}$

in ${\displaystyle {}M}$ gilt.

1. Zeige, dass ${\displaystyle {}\sim }$ eine Äquivalenzrelation ist.
2. Definiere auf ${\displaystyle {}M_{f}}$ eine Monoidstruktur.
3. Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein kommutativer Ring und sei ${\displaystyle {}T^{f}\in R[M]}$ das Monom zu ${\displaystyle {}f}$ im Monoidring. Zeige

   ${\displaystyle {}R[M_{f}]\cong R[M]_{T^{f}}\,.}$

Seien ${\displaystyle {}M\subseteq N}$ endlich erzeugte kommutative Monoide. Zeige, dass für einen Körper ${\displaystyle {}K}$ der Ringhomomorphismus ${\displaystyle {}K[M]\subseteq K[N]}$ genau dann endlich ist, wenn es zu jedem ${\displaystyle {}n\in N}$ ein ${\displaystyle {}k\in \mathbb {N} _{+}}$ mit ${\displaystyle {}kn\in M}$ gibt.

Berechne in ${\displaystyle {}R=\mathbb {R} [\mathbb {Q} _{\geq 0}]}$ das Produkt

${\displaystyle {\left(X^{2}+4X^{3/2}-5X+X^{1/2}\right)}{\left(2X^{3/2}+4X-7X^{1/2}\right)}.}$

Zeige, dass man jedes Element ${\displaystyle {}F\in R=K[\mathbb {Q} _{\geq 0}]}$ (${\displaystyle {}K}$ ein Körper) als ein Polynom in ${\displaystyle {}X^{1/b}}$ mit einem ${\displaystyle {}b\in \mathbb {N} _{+}}$ schreiben kann, dass es also ein ${\displaystyle {}P\in K[Y]}$ derart gibt, dass ${\displaystyle {}F=P(X^{1/b})}$ gilt. Welches Polynom kann man bei

${\displaystyle {}F=X^{1/2}+X^{1/3}+X^{1/5}\,}$

nehmen?

Zeige, dass in ${\displaystyle {}R=K[\mathbb {Q} _{\geq 0}]}$ das Element ${\displaystyle {}X}$ keine Zerlegung in irreduzible Elemente besitzt.

Zeige, dass in ${\displaystyle {}R=\mathbb {R} [\mathbb {Q} _{\geq 0}]}$ das Element ${\displaystyle {}X^{2}+1}$ nicht irreduzibel ist.

Zeige, dass es in ${\displaystyle {}R=\mathbb {C} [\mathbb {Q} _{\geq 0}]}$ keine irreduziblen Elemente gibt.

Bestimme sämtliche Teiler von ${\displaystyle {}X}$ im Ring ${\displaystyle {}R=K[\mathbb {Q} _{\geq 0}]}$, wobei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper ist.

Bestimme die Einheiten im Ring ${\displaystyle {}R=K[\mathbb {Q} ]}$, wobei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper ist.

Wir betrachten das kommutative Monoid ${\displaystyle {}M}$, das durch die drei Erzeuger ${\displaystyle {}e,f,g}$ und die einzige Relation ${\displaystyle {}e+f=5g}$ gegeben ist. Bestimme das ${\displaystyle {}K}$-Spektrum zu ${\displaystyle {}M}$ für verschiedene Körper ${\displaystyle {}K}$.

Es sei ${\displaystyle {}M}$ ein endliches kommutatives Monoid. Zeige, dass das ${\displaystyle {}K}$-Spektrum zu ${\displaystyle {}M}$ auch endlich ist.

Betrachte den Monoidhomomorphismus

${\displaystyle \mathbb {N} ^{2}\longrightarrow \mathbb {Z} ,\,e_{1}\longmapsto 1,\,e_{2}\longmapsto -1.}$

Beschreibe die zugehörige Abbildung zwischen den Monoidringen (für einen Körper ${\displaystyle {}K}$) und den zugehörigen ${\displaystyle {}K}$-Spektren.

Wir betrachten Monoide der Form ${\displaystyle {}M=(\mathbb {Z} /(m),+)}$. Beschreibe ${\displaystyle {}K-\operatorname {Spek} \,(K[M])}$ allgemein sowie für die Körper ${\displaystyle {}K=\mathbb {R} ,\mathbb {C} ,\mathbb {Z} /(5)}$. Finde die idempotenten Elemente von ${\displaystyle {}\mathbb {C} [\mathbb {Z} /(3)]}$.

Diskutiere Beispiel 5.6 im Kontext von Monoidringen.

Seien ${\displaystyle {}M,N}$ endlich erzeugte kommutative Monoide mit den ${\displaystyle {}K}$-Spektren ${\displaystyle {}K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(K[M]\right)}=\operatorname {Mor} _{\operatorname {mon} }\,(M,K)}$ und ${\displaystyle {}K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(K[N]\right)}=\operatorname {Mor} _{\operatorname {mon} }\,(N,K)}$. Zeige, dass man für einen Monoidhomomorphismus ${\displaystyle {}\varphi :M\rightarrow N}$ die zugehörige Spektrumsabbildung auf zwei verschiedene Weisen definieren kann, die aber inhaltlich übereinstimmen.

Sei ${\displaystyle {}M=(\mathbb {Q} ,+)}$ die additive Gruppe der rationalen Zahlen. Bestimme ${\displaystyle {}\mathbb {Q} \!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(\mathbb {Q} [M]\right)}}$. Wie sieht es aus, wenn man ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$ durch ${\displaystyle {}\mathbb {R} }$ ersetzt?

Wir betrachten die kommutativen Monoide ${\displaystyle {}M=\mathbb {N} ^{r}}$ und ${\displaystyle {}N={\mathbb {N} }^{s}}$. Zeige, dass ein Monoidhomomorphismus von ${\displaystyle {}M}$ nach ${\displaystyle {}N}$ eindeutig durch eine Matrix (mit ${\displaystyle {}r}$ Spalten und ${\displaystyle {}s}$ Zeilen) mit Einträgen aus ${\displaystyle {}\mathbb {N} }$ bestimmt ist.

Es sei ${\displaystyle {}M}$ eine quadratische ${\displaystyle {}r\times r}$-Matrix mit Einträgen aus ${\displaystyle {}\mathbb {N} }$ mit der zugehörigen Monoidabbildung und der zugehörigen Spektrumsabbildung

${\displaystyle \varphi \colon K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(K[\mathbb {N} ^{r}]\right)}\longrightarrow K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(K[\mathbb {N} ^{r}]\right)},}$

wobei ${\displaystyle {}K}$ ein unendlicher Körper sei. Zeige, dass genau dann ${\displaystyle {}\det(M)\neq 0}$ ist, wenn ${\displaystyle {}\varphi }$ surjektiv auf eine offene Menge aus ${\displaystyle {}K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(K[\mathbb {N} ^{r}]\right)}}$ abbildet.

Es sei ${\displaystyle {}\varphi \colon M\rightarrow N}$ ein Homomorphismus von kommutativen Monoiden. Zeige, dass die Menge aller Punkte aus ${\displaystyle {}K-\operatorname {Spec} \,K[N]}$, die unter der Spektrumsabbildung auf den Einspunkt ${\displaystyle {}1\in K-\operatorname {Spek} \,(K[M])}$  (das ist der Punkt, der der konstanten Abbildung ${\displaystyle {}M\mapsto 1}$ entspricht) abgebildet werden, selbst die Struktur eines ${\displaystyle {}K}$-Spektrums eines geeigneten Monoids besitzt.

Seien ${\displaystyle {}M}$ und ${\displaystyle {}N}$ kommutative Monoide und sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper. In welcher Beziehung steht ${\displaystyle {}K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(K[M\times N]\right)}}$ zu ${\displaystyle {}K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(K[M]\right)}}$ und ${\displaystyle {}K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(K[N]\right)}}$?

Zeige, dass die Differenzengruppe zu einem kommutativen Monoid in der Tat eine Gruppe ist.

Sei ${\displaystyle {}M}$ ein kommutatives Monoid. Zeige, dass die zugehörige Differenzengruppe ${\displaystyle {}\Gamma =\Gamma (M)}$ eine kommutative Gruppe ist, und dass sie folgende universelle Eigenschaft besitzt: Zu jedem Monoidhomomorphismus

${\displaystyle \varphi \colon M\longrightarrow G}$

in eine Gruppe ${\displaystyle {}G}$ gibt es einen eindeutig bestimmten Gruppenhomomorphismus

${\displaystyle {\tilde {\varphi }}\colon \Gamma \longrightarrow G,}$

der ${\displaystyle {}\varphi }$ fortsetzt.

Sei ${\displaystyle {}M}$ ein kommutatives Monoid mit zugehöriger Differenzengruppe ${\displaystyle {}\Gamma =\Gamma (M)}$. Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind.

1. ${\displaystyle {}M}$ ist ein Monoid mit Kürzungsregel.
2. Die kanonische Abbildung ${\displaystyle {}M\rightarrow \Gamma (M)}$ ist injektiv.
3. ${\displaystyle {}M}$ lässt sich als Untermonoid einer Gruppe realisieren.