Sei ${\displaystyle {}M}$ ein kommutatives Monoid. Zeige, dass die zugehörige Differenzengruppe ${\displaystyle {}\Gamma =\Gamma (M)}$ eine kommutative Gruppe ist, und dass sie folgende universelle Eigenschaft besitzt: Zu jedem Monoidhomomorphismus

${\displaystyle \varphi \colon M\longrightarrow G}$

in eine Gruppe ${\displaystyle {}G}$ gibt es einen eindeutig bestimmten Gruppenhomomorphismus

${\displaystyle {\tilde {\varphi }}\colon \Gamma \longrightarrow G,}$

${\displaystyle {}\varphi }$