Sei ${\displaystyle {}M}$ ein kommutatives Monoid. Dann nennt man die Menge der formalen Differenzen

${\displaystyle {}\Gamma (M)={\left\{m-n\mid m,n\in M\right\}}\,}$

mit der Addition

${\displaystyle {}{\left(m_{1}-n_{1}\right)}+{\left(m_{2}-n_{2}\right)}:={\left(m_{1}+m_{2}\right)}-{\left(n_{1}+n_{2}\right)}\,}$

und der Identifikation

${\displaystyle m_{1}-n_{1}=m_{2}-n_{2}\,{\text{ falls es }}m\in M{\text{ gibt mit }}m+m_{1}+n_{2}=m+m_{2}+n_{1}.}$

die Differenzengruppe zu ${\displaystyle {}M}$.