Monoid/Zugehörige Differenzengruppe/Charakterisierungen Kürzungsregel/Aufgabe

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Sei ${}M$ ein kommutatives Monoid mit zugehöriger Differenzengruppe ${}\Gamma =\Gamma (M)$ . Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind.

${}M$ ist ein Monoid mit Kürzungsregel.
Die kanonische Abbildung ${}M\rightarrow \Gamma (M)$ ist injektiv.
${}M$ lässt sich als Untermonoid einer Gruppe realisieren.

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