Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die von einem Mengensystem ${\displaystyle {}{\mathcal {E}}}$ auf einer Menge ${\displaystyle {}M}$ erzeugte ${\displaystyle {}\sigma }$-Algebra ${\displaystyle {}\sigma ({\mathcal {E}})}$.
2. Das Zählmaß auf einer Menge ${\displaystyle {}M}$.
3. Ein translationsinvariantes Maß auf ${\displaystyle {}(\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n}))}$.
4. Eine ${\displaystyle {}C^{1}}$-differenzierbare Mannigfaltigkeit ${\displaystyle {}M}$.
5. Die Tangentialabbildung in einem Punkt ${\displaystyle {}P\in M}$ zu einer differenzierbaren Abbildung

   ${\displaystyle \varphi \colon M\longrightarrow N,}$

   wobei ${\displaystyle {}M}$ und ${\displaystyle {}N}$ differenzierbare Mannigfaltigkeiten sind.

6. Ein überdeckungskompakter topologischer Raum.

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Das Lemma von Fatou.
2. Der Satz von Heine-Borel.
3. Der Satz von Green für den Flächeninhalt.

1. Es sei ${\displaystyle {}(M,{\mathcal {A}},\mu )}$ ein ${\displaystyle {}\sigma }$-endlicher Maßraum und es sei

   ${\displaystyle f_{n}\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}}$

   eine Folge von nichtnegativen messbaren numerischen Funktionen. Dann gilt

   ${\displaystyle {}\int _{M}\operatorname {lim} \operatorname {inf} \,{\left(f_{n}\right)}\,d\mu \leq \operatorname {lim} \operatorname {inf} \,{\left(\int _{M}f_{n}\,d\mu \right)}\,}$

2. Es sei ${\displaystyle {}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ eine Teilmenge. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
   1. ${\displaystyle {}T}$ ist überdeckungskompakt.
   2. Jede Folge ${\displaystyle {}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }}$ in ${\displaystyle {}T}$ besitzt einen Häufungspunkt in ${\displaystyle {}T}$.
   3. Jede Folge ${\displaystyle {}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }}$ in ${\displaystyle {}T}$ besitzt eine in ${\displaystyle {}T}$ konvergente Teilfolge.
   4. ${\displaystyle {}T}$ ist abgeschlossen und beschränkt.
3. Es sei ${\displaystyle {}M\subseteq \mathbb {R} ^{2}}$ eine kompakte Mannigfaltigkeit mit Rand ${\displaystyle {}\delta M}$. Dann ist der Flächeninhalt von ${\displaystyle {}M}$ gleich

   ${\displaystyle {}\lambda ^{2}(M)=\int _{\partial M}xdy=-\int _{\partial M}ydx\,.}$

Eine Klorolle hat einen äußeren Durchmesser von ${\displaystyle {}12}$ cm und einen inneren Durchmesser von ${\displaystyle {}4}$ cm. Das ausgewickelte Klopapier ergibt eine Länge von ${\displaystyle {}20}$ Metern. Wie dick ist das Klopapier?

Es sei ${\displaystyle {}b}$ die Breite des Papiers (alles in Zentimetern). Das Volumen des aufgewickelten Papiers ist

${\displaystyle {}b\pi {\left(6^{2}-2^{2}\right)}=b\pi 32\,.}$

Die unbekannte Dicke sei ${\displaystyle {}d}$. Das abgewickelte Klopapier bilden einen Quader mit dem gleichen Volumen, also

${\displaystyle {}2000bd=b\pi 32\,.}$

Somit ist

${\displaystyle {}d={\frac {\pi 32}{2000}}\cong {\frac {100}{2000}}={\frac {1}{20}}\,.}$

Die Dicke ist also ungefähr ein halber Millimeter.

Auf der Menge der natürlichen Zahlen ${\displaystyle {}\mathbb {N} }$ sei ein Maß ${\displaystyle {}\mu }$ durch

${\displaystyle {}\mu {\left(\{n\}\right)}=n\,}$

gegeben. Bestimme

${\displaystyle \mu {\left(\{0,1,2,\ldots ,n\}\right)}.}$

Aufgrund der Additivitätseigenschaft eines Maßes ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\mu {\left(\{0,1,2,\ldots ,n\}\right)}&=\mu {\left(\{0\}\right)}+\mu {\left(\{1\}\right)}+\mu {\left(\{2\}\right)}+\cdots +\mu {\left(\{n\}\right)}\\&=0+1+2+\cdots +n\\&={\frac {n(n+1)}{2}}\end{aligned}}}$

nach der bekannten Regel für die Summe der ersten ${\displaystyle {}n}$ Zahlen.

Es sei ${\displaystyle {}M}$ eine Menge und seien

${\displaystyle T_{1},T_{2},\ldots ,T_{n}\subseteq M}$

Teilmengen (${\displaystyle {}n\geq 1}$). Wir betrachten die Menge ${\displaystyle {}{\mathcal {A}}}$, die aus allen Teilmengen von ${\displaystyle {}M}$ besteht, die man als Durchschnitte der Form

${\displaystyle S_{1}\cap \ldots \cap S_{k}}$

erhalten kann, wobei die Menge ${\displaystyle {}S_{i}}$ jeweils ein ${\displaystyle {}T_{j}}$ oder ein ${\displaystyle {}M\setminus T_{j}}$ ist.

a) Zeige, dass man auf diese Art nur endlich viele Teilmengen von ${\displaystyle {}M}$ erhalten kann.

b) Zeige, dass es in ${\displaystyle {}{\mathcal {A}}}$ eindeutig bestimmte, nichtleere Mengen ${\displaystyle {}A_{1},\ldots ,A_{m}}$ mit

${\displaystyle {}M=\biguplus _{\ell =1}^{m}A_{\ell }\,}$

und mit der Eigenschaft, dass jedes ${\displaystyle {}A\in {\mathcal {A}}}$, ${\displaystyle {}A\neq \emptyset }$, ein ${\displaystyle {}A_{\ell }}$ umfasst gibt.

c) Zeige, dass man jede Menge ${\displaystyle {}T_{j}}$ als

${\displaystyle {}T_{j}=\biguplus _{\ell \in L_{j}}^{m}A_{\ell }\,}$

mit einer eindeutig bestimmten Teilmenge ${\displaystyle {}L_{j}\subseteq \{1,\ldots ,m\}}$ darstellen kann.

a) Da die Wiederholung einer Menge in einem Durchschnitt den Durchschnitt nicht ändert, und da ${\displaystyle {}T_{j}\cap {\left(M\setminus T_{j}\right)}=\emptyset }$ ist, muss man nur Durchschnitte betrachten, wo jede Menge maximal einmal vorkommt, und zwar entweder selbst oder ihr Komplement. Da nur endlich viele Mengen zur Verfügung stehen, gibt es nur endlich viele Durchschnitte.

b) Es seien ${\displaystyle {}A_{1},\ldots ,A_{m}}$ die nichtleeren Mengen aus ${\displaystyle {}{\mathcal {A}}}$ derart, dass es zwischen ${\displaystyle {}\emptyset }$ und ${\displaystyle {}A_{\ell }}$ keine weiteren Mengen aus ${\displaystyle {}{\mathcal {A}}}$ gibt. Diese Mengen sind zueinander disjunkt, da ein Durchschnitt ${\displaystyle {}A_{\ell }\cap A_{\ell '}}$ nach Konstruktion zu ${\displaystyle {}{\mathcal {A}}}$ gehört und bei ${\displaystyle {}\ell \neq \ell '}$ echt in ${\displaystyle {}A_{\ell }}$ enthalten sein muss, also leer sein muss. Jedes Element ${\displaystyle {}x\in M}$ liegt entweder in ${\displaystyle {}T_{j}}$ oder in ${\displaystyle {}M\setminus T_{j}}$ und somit in einer Schnittmenge der Form

${\displaystyle \bigcap _{j\in J}T_{j}\cap \bigcap _{j\in \{1,\ldots ,n\}\setminus J}M\setminus T_{j}}$

für eine gewisse Teilmenge ${\displaystyle {}J\subseteq \{1,\ldots ,n\}}$. Solche Mengen sind minimal in ${\displaystyle {}{\mathcal {A}}}$, da jede Menge ${\displaystyle {}T_{j}}$ verarbeitet ist. Zu ${\displaystyle {}A\neq \emptyset }$ gibt es daher auch ein ${\displaystyle {}A_{\ell }}$ mit ${\displaystyle {}A\cap A_{\ell }\neq \emptyset }$. Wegen der Wahl der ${\displaystyle {}A_{\ell }}$ ist dann aber direkt ${\displaystyle {}A_{\ell }\subseteq A}$. Wenn ${\displaystyle {}B_{1},\ldots ,B_{m'}}$ eine weitere Familie mit den angegebenen Eigenschaften wäre, so gäbe es für jedes ${\displaystyle {}B_{\ell '}}$ ein ${\displaystyle {}A_{\ell }}$ mit nichtleerem Durchschnitt. Dann ist direkt ${\displaystyle {}A_{\ell }\subseteq B_{\ell '}}$ und somit gilt Gleichheit.

c) Sei ${\displaystyle {}T_{j}}$ gegeben. Bei ${\displaystyle {}T_{j}=\emptyset }$ nimmt man die leere Vereinigung. Sei also ${\displaystyle {}T_{j}\neq \emptyset }$. Bei ${\displaystyle {}T_{j}\cap A_{\ell }\neq \emptyset }$ ist sogar ${\displaystyle {}T_{j}\supseteq A_{\ell }}$, und ${\displaystyle {}T_{j}}$ ist die Vereinigung dieser ${\displaystyle {}A_{\ell }}$.

Es sei ${\displaystyle {}\mu }$ ein translationsinvariantes Maß auf dem ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{n}}$, das auf dem Einheitswürfel endlich sei. Es sei ${\displaystyle {}U\subset \mathbb {R} ^{n}}$ ein echter Untervektorraum. Zeige ${\displaystyle {}\mu (U)=0}$.

 Es sei ${\displaystyle {}U\subset \mathbb {R} ^{n}}$ ein Untervektorraum der Dimension ${\displaystyle {}d<n}$ und nehmen wir an, dass ${\displaystyle {}\mu (U)>0}$ ist. Es sei ${\displaystyle {}u_{1},\ldots ,u_{d}}$ eine Basis von ${\displaystyle {}U}$ und

${\displaystyle P={\left\{a_{1}u_{1}+\cdots +a_{d}u_{d}\mid a_{i}\in [0,1]\right\}}}$

das davon erzeugte ${\displaystyle {}d}$-dimensionale Parallelotop. Dies lässt sich durch endlich viele verschobene Einheitswürfel überpflastern und besitzt demnach ein endliches Maß. Die verschobenen Parallelotope

${\displaystyle P_{k}=P+k_{1}u_{1}+\cdots +k_{d}u_{d},\,k=(k_{1},\ldots ,k_{d})\in \mathbb {Z} ^{d}}$

besitzen wegen der Translationsinvarianz alle dasselbe Maß und bilden eine Überpflasterung von ${\displaystyle {}U}$. Da es abzählbar viele sind, muss ${\displaystyle {}\mu (P)>0}$ gelten. Es sei nun ${\displaystyle {}u_{d+1},\ldots ,u_{n}}$ eine Ergänzung der Basis zu einer Basis von ${\displaystyle {}V}$, und sei

${\displaystyle R={\left\{a_{1}u_{1}+\cdots +a_{d}u_{d}+\cdots +a_{n}u_{n}\mid a_{i}\in [0,1]\right\}}}$

das zugehörige ${\displaystyle {}n}$-dimensionale Parallelotop. Für dieses ist ${\displaystyle {}\mu (R)<\infty }$. Wir betrachten nun die abzählbar unendlich vielen Parallelotope

${\displaystyle P_{q}=P+qu_{n}{\text{ mit }}q\in [0,1]\cap \mathbb {Q} .}$

Diese liegen alle innerhalb von ${\displaystyle {}R}$ und besitzen wegen der Translationsinvarianz alle das gleiche Maß wie ${\displaystyle {}P}$. Ferner sind sie paarweise disjunkt, da andernfalls ein nichttriviales Vielfaches von ${\displaystyle {}u_{n}}$ zu ${\displaystyle {}U}$ gehören würde. Aus

${\displaystyle {}\sum _{q\in [0,1]\cap \mathbb {Q} }\ \mu (P_{q})=\mu {\left(\bigcup _{q\in [0,1]\cap \mathbb {Q} }P_{q}\right)}\leq \mu (R)\,}$

folgt ${\displaystyle {}\mu (R)=\infty }$, ein Widerspruch.

Berechne das Integral zur Funktion

${\displaystyle {}f(r,s,t)=rst+t\sin s\,}$

über dem Einheitswürfel ${\displaystyle {}W=[0,1]^{3}}$.

Aufgrund des Satzes von Fubini ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\int _{W}rst+t\sin s\,d\lambda ^{3}&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\left(rst+t\sin s\right)}drdsdt\\&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\left({\frac {1}{2}}r^{2}st+rt\sin s\right)}|_{0}^{1}dsdt\\&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\left({\frac {1}{2}}st+t\sin s\right)}dsdt\\&=\int _{0}^{1}{\left({\frac {1}{4}}s^{2}t-t\cos s\right)}|_{0}^{1}dt\\&=\int _{0}^{1}{\left({\frac {1}{4}}t-t\cos 1+t\right)}dt\\&=\int _{0}^{1}{\left({\left({\frac {5}{4}}-\cos 1\right)}t\right)}dt\\&={\left({\frac {1}{2}}{\left({\frac {5}{4}}-\cos 1\right)}t^{2}\right)}|_{0}^{1}\\&={\frac {5}{8}}-{\frac {1}{2}}\cos 1.\end{aligned}}}$

Berechne den Flächeninhalt des Bildes des Rechtecks ${\displaystyle {}Q=[-1,3]\times [0,2]}$ unter der Abbildung

${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto (x^{3},y-x^{2}).}$

Die Abbildung ist bijektiv mit der Umkehrabbildung

${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(u,v)\longmapsto \left(u^{\frac {1}{3}},\,v+u^{\frac {2}{3}}\right).}$

Die Jacobi-Matrix ist

${\displaystyle {\begin{pmatrix}3x^{2}&0\\-2x&1\end{pmatrix}}}$

mit der Jacobi-Determinante

${\displaystyle 3x^{2}.}$

Für die Punkte mit ${\displaystyle {}x=0}$ liegt also kein lokaler Diffeomorphismus vor und für die Punkte mit ${\displaystyle {}x\neq 0}$ liegt ein Diffeomorphismus auf das Bild vor. Auf ${\displaystyle {}\mathbb {R} \setminus \{0\}\times \mathbb {R} }$ ist also die Transformationsformel anwendbar. Die Ausnahmemenge ${\displaystyle {}Q\cap {\left\{(x,y)\mid x=0\right\}}}$ hat den Flächeninhalt ${\displaystyle {}0}$ und das gilt nach Fakt ***** auch für das Bild davon. Daher kann man die Transformationsformel anwenden und nach Fubini ist somit

${\displaystyle {}\lambda ^{2}(\varphi (Q))=\int _{Q}3x^{2}d\lambda ^{2}=3\int _{-1}^{3}x^{2}dx\int _{0}^{2}1dy=2x^{3}|_{-1}^{3}=2(27+1)=56\,.}$

Man gebe ein Beispiel einer zweidimensionalen zusammenhängenden differenzierbaren Mannigfaltigkeit ${\displaystyle {}M}$ und einem Punkt ${\displaystyle {}P\in M}$ derart, dass ${\displaystyle {}M}$ und ${\displaystyle {}M\setminus \{P\}}$ zueinander diffeomorph sind.

Es sei

${\displaystyle {}M=\mathbb {R} ^{2}\setminus \mathbb {N} _{+}=\mathbb {R} ^{2}\setminus \{(1,0),(2,0),(3,0),\ldots \}\,,}$

es werden also aus dem ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{2}}$ die auf der ${\displaystyle {}x}$-Achse platzierten positiven natürlichen Zahlen herausgenommen. Dies ist eine offene Teilmenge im ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{2}}$ und damit eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Diese ist wegzusammenhängend, da man beispielsweise jeden Punkt aus ${\displaystyle {}M}$ mit ${\displaystyle {}y\geq 0}$ durch einen geraden Weg mit ${\displaystyle {}(0,1)}$ und jeden Punkt aus ${\displaystyle {}M}$ mit ${\displaystyle {}y\leq 0}$ durch einen geraden Weg mit ${\displaystyle {}(0,-1)}$ verbinden kann und diese beiden Punkte ebenfalls gerade verbindbar sind. Es sei nun

${\displaystyle {}P=(0,0)\,}$

und

${\displaystyle {}M'=M\setminus \{P\}\,.}$

Die Abbildung

${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto (x-1,y),}$

ist (als Verschiebung) ein Diffeomorphismus und das Bild von ${\displaystyle {}M}$ ist genau ${\displaystyle {}M'}$. Daher sind ${\displaystyle {}M}$ und ${\displaystyle {}M'=M\setminus \{P\}}$ zueinander diffeomorph.

Wir betrachten den ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{6}=(\mathbb {R} ^{2})^{3}}$ als Menge aller (auch entarteter) Dreiecke, indem wir ein Dreieck mit den (geordneten) Eckpunkten ${\displaystyle {}P_{1}={\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\end{pmatrix}},P_{2}={\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\end{pmatrix}},P_{3}={\begin{pmatrix}x_{3}\\y_{3}\end{pmatrix}}}$ mit dem Koordinatentupel

${\displaystyle (x_{1},y_{1},x_{2},y_{2},x_{3},y_{3})}$

identifizieren.

1. Zeige, dass die Menge der Dreiecke, bei denen zwei Eckpunkte zusammenfallen, eine abgeschlossene Teilmenge des ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{6}}$ ist (das Komplement davon ist somit eine offene Menge in ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{6}}$, die wir ${\displaystyle {}U}$ nennen).
2. Zeige, dass die Menge der Dreiecke, bei denen alle drei Eckpunkte auf einer Geraden liegen, eine abgeschlossene Teilmenge des ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{6}}$ ist (das Komplement davon, das aus allen nichtentarteten Dreiecken besteht, ist somit eine offene Menge in ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{6}}$, die wir ${\displaystyle {}V}$ nennen).
3. Erstelle eine Funktionsvorschrift, die die Abbildung

   ${\displaystyle F\colon \mathbb {R} ^{6}\longrightarrow \mathbb {R} }$

   beschreibt, die einem Dreieck seinen Umfang zuordnet.

4. Zeige, dass die Funktion ${\displaystyle {}F}$ aus Teil (3) auf der Menge ${\displaystyle {}U}$ stetig differenzierbar ist.
5. Berechne die partielle Ableitung von ${\displaystyle {}F}$ nach ${\displaystyle {}x_{1}}$ auf ${\displaystyle {}U}$.
6. Zeige, dass die Menge der nichtentarteten Dreiecke mit Umfang ${\displaystyle {}1}$ eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit von ${\displaystyle {}V}$ bildet. Was ist die Dimension?

1. Die Eckpunkte ${\displaystyle {}P_{1}}$ und ${\displaystyle {}P_{2}}$ stimmen genau dann überein, wenn ihre beiden Koordinaten übereinstimmen, wenn also ${\displaystyle {}x_{1}=x_{2}}$ und ${\displaystyle {}y_{1}=y_{2}}$ ist. Eine solche Bedingung definiert eine abgeschlossene Teilmenge, da es sich um die Faser einer (stetigen) linearen Abbildung handelt. Da eine endliche Vereinigung von abgeschlossenen Teilmengen wieder abgeschlossen ist, ist die in Frage stehende Menge abgeschlossen.
2. Wir betrachten die Verbindungsvektoren

   ${\displaystyle P_{2}-P_{1}={\begin{pmatrix}x_{2}-x_{1}\\y_{2}-y_{1}\end{pmatrix}}\,\,{\text{ und }}\,\,P_{3}-P_{1}={\begin{pmatrix}x_{3}-x_{1}\\y_{3}-y_{1}\end{pmatrix}}}$

   Die drei Punkte sind genau dann kollinear, wenn diese zwei Vektoren linear abhängig sind, und dies ist genau dann der Fall, wenn ihre Determinante ${\displaystyle {}0}$ ist. Die Kollinearitätssbedingung lautet somit

   ${\displaystyle {}H(x_{1},x_{2},x_{3},y_{1},y_{2},y_{3})=(x_{2}-x_{1})(y_{3}-y_{1})-(x_{3}-x_{1})(y_{2}-y_{1})=0\,.}$

   Da ${\displaystyle {}H}$ eine polynomiale Abbildung und damit stetig ist, ist die Faser zu ${\displaystyle {}0}$ eine abgeschlossene Teilmenge.

3. Da der Umfang einfach die Summe der drei beteiligten Dreiecksseiten ist, gilt

   ${\displaystyle {}{\begin{aligned}F(x_{1},x_{2},x_{3},y_{1},y_{2},y_{3})&=d(P_{1},P_{2})+d(P_{1},P_{3})+d(P_{2},P_{3})\\&={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}+{\sqrt {(x_{3}-x_{1})^{2}+(y_{3}-y_{1})^{2}}}+{\sqrt {(x_{3}-x_{2})^{2}+(y_{3}-y_{2})^{2}}}.\,\end{aligned}}}$

4. Für einen Punkt aus ${\displaystyle {}U}$ ist jeder Radikand als polynomiale Funktion stetig differenzierbar und echt positiv, somit sind auch die Quadratwurzeln daraus stetig differenzierbar.
5. Die partielle Ableitung ist

   ${\displaystyle {}{\begin{aligned}{\frac {\partial F}{\partial x_{1}}}&={\frac {1}{2}}{\left((x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}\right)}^{-1/2}(2x_{1}-2x_{2})+{\frac {1}{2}}{\left((x_{3}-x_{1})^{2}+(y_{3}-y_{1})^{2}\right)}^{-1/2}(2x_{1}-2x_{3})\\&={\left((x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}\right)}^{-1/2}(x_{1}-x_{2})+{\left((x_{3}-x_{1})^{2}+(y_{3}-y_{1})^{2}\right)}^{-1/2}(x_{1}-x_{3}).\,\end{aligned}}}$

6. Auf ${\displaystyle {}U}$ sind die Radikanden positiv, somit verschwindet die partielle Ableitung nach ${\displaystyle {}x_{1}}$ nur, falls ${\displaystyle {}x_{1}=x_{2}=x_{3}}$ ist. Ein Dreieck mit dieser Bedingung ist aber kollinear. Das bedeutet, dass auf ${\displaystyle {}V}$ die partielle Ableitung nach ${\displaystyle {}x_{1}}$ nie ${\displaystyle {}0}$ wird und das bedeutet insbesondere, dass der Gradient auf ${\displaystyle {}V}$ nirgends verschwindet, also regulär ist. Nach Fakt ***** ist die Faser eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit, und zwar der Dimension

   ${\displaystyle {}6-1=5\,.}$

Wir betrachten im ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{3}}$ die drei Vektoren

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\2\\-2\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}x\\5\\7\end{pmatrix}}.}$

a) Wie muss man ${\displaystyle {}x}$ wählen, damit diese drei Vektoren die Standardorientierung des ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{3}}$ repräsentieren?

b) Wie muss man ${\displaystyle {}x}$ wählen, damit diese drei Vektoren die der Standardorientierung entgegengesetzte Orientierung repräsentieren?

a) Die Vektoren repräsentieren die Standardorientierung genau dann, wenn ihre Determinante positiv ist. Diese ist

${\displaystyle {}\det {\begin{pmatrix}1&0&x\\2&2&5\\3&-2&7\end{pmatrix}}=14-4x-6x+10=-10x+24\,,}$

und dies ist positiv genau dann, wenn ${\displaystyle {}x<2,4}$ ist.

b) Die entgegengesetzte Orientierung liegt genau dann vor, wenn die Determinante negativ ist, und dies ist genau bei ${\displaystyle {}x>2,4}$ der Fall.

Zeige, dass der Flächeninhalt der Rotationsfläche, die entsteht, wenn man den Graphen

${\displaystyle \Gamma ={\left\{(x,e^{x})\mid x\leq 0\right\}}}$

um die ${\displaystyle {}x}$-Achse rotieren lässt, kleiner als ${\displaystyle {}10}$ ist.

Wir betrachten die Oberfläche für ${\displaystyle {}s\leq x\leq 0}$ mit einer beliebigen negativen Zahl ${\displaystyle {}s}$. Der Flächeninhalt ist nach der Rotationsformel gleich

${\displaystyle 2\pi \int _{s}^{0}{\sqrt {1+e^{2t}}}e^{t}dt.}$

Da ${\displaystyle {}t}$ sich im negativen Bereich bewegt, ist ${\displaystyle {}e^{2t}\leq 1}$ und somit ist der Integrand ${\displaystyle {}\leq {\sqrt {2}}e^{t}}$. Damit ist dieses Integral kleiner/gleich

${\displaystyle {}2\pi {\sqrt {2}}\int _{s}^{0}e^{t}dt=2\pi {\sqrt {2}}(1-e^{s})\leq 2\pi {\sqrt {2}}\leq 2\cdot 3{,}2\cdot 1{,}5=2\cdot 4{,}8<10\,.}$

Diese Abschätzung gilt auch für ${\displaystyle {}s\rightarrow -\infty }$.

Berechne die äußere Ableitung ${\displaystyle {}d\omega }$ der Differentialform

${\displaystyle \omega ={\frac {x^{2}}{y}}dx-{\frac {x}{y^{2}}}dy}$

auf ${\displaystyle {}U={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid y\neq 0\right\}}}$.

Es ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}d\omega &=d{\frac {x^{2}}{y}}\wedge dx-d{\frac {x}{y^{2}}}\wedge dy\\&=-{\frac {x^{2}}{y^{2}}}dy\wedge dx-{\frac {1}{y^{2}}}dx\wedge dy\\&={\frac {x^{2}-1}{y^{2}}}dx\wedge dy.\end{aligned}}}$

Es sei ${\displaystyle {}M}$ eine Mannigfaltigkeit mit Rand. Zeige, dass jede offene Teilmenge ${\displaystyle {}N\subseteq M}$ ebenfalls eine Mannigfaltigkeit mit (eventuell leerem) Rand ist, und dass

${\displaystyle {}\partial N=\partial M\cap N\,}$

gilt.

Sei ${\displaystyle {}P\in N}$ und ${\displaystyle {}P\in U}$ ein Kartengebiet von ${\displaystyle {}M}$. Es sei

${\displaystyle \alpha \colon U\longrightarrow V}$

eine Karte mit einer offenen Menge ${\displaystyle {}V\subseteq H}$, ${\displaystyle {}H=\mathbb {R} _{\geq 0}\times \mathbb {R} ^{n-1}}$. Diese Karte induziert einen Homöomorphismus

${\displaystyle N\cap U\longrightarrow \alpha (N\cap U).}$

Diese Karten nehmen wir für ${\displaystyle {}N}$. Die Diffeomorphieeigenschaft der Kartenwechsel zu ${\displaystyle {}M}$ überträgt sich direkt auf die Karten zu ${\displaystyle {}N}$. Sei ${\displaystyle {}P\in N\cap \partial M}$. Dann wird ${\displaystyle {}P}$ unter einer Karte auf einen Randpunkt von ${\displaystyle {}H}$ abgebildet, und da die Karten für ${\displaystyle {}N}$ Einschränkungen von solchen Karten sind, bleibt diese Eigenschaft erhalten. Wenn umgekehrt ${\displaystyle {}P\in \partial N}$ ist, so ist natürlich einerseits ${\displaystyle {}P\in N\subseteq M}$. Andererseits gibt es zu ${\displaystyle {}P}$ eine Karte zu ${\displaystyle {}N}$, die durch Einschränkung von einer Karte zu ${\displaystyle {}M}$ herrührt, in der ${\displaystyle {}P}$ auf einen Randpunkt von ${\displaystyle {}H}$ abgebildet wird.