Sei ${\displaystyle {}(M,d)}$ ein metrischer Raum und sei ${\displaystyle {}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }}$ eine Folge in ${\displaystyle {}M}$. Man sagt, dass die Folge gegen ${\displaystyle {}x\in M}$ konvergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist.

Zu jedem ${\displaystyle {}\epsilon \in \mathbb {R} }$, ${\displaystyle {}\epsilon >0}$, gibt es ein ${\displaystyle {}n_{0}\in \mathbb {N} }$ derart, dass für alle ${\displaystyle {}n\geq n_{0}}$ die Beziehung

${\displaystyle {}d{\left(x_{n},x\right)}\leq \epsilon \,}$

gilt. In diesem Fall heißt ${\displaystyle {}x}$ der Grenzwert oder der Limes der Folge. Dafür schreibt man auch

${\displaystyle {}\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=x\,.}$

Wenn die Folge einen Grenzwert besitzt, so sagt man auch, dass sie konvergiert (ohne Bezug auf einen Grenzwert), andernfalls, dass sie divergiert.