Sei ${\displaystyle {}P\in N}$ und ${\displaystyle {}P\in U}$ ein Kartengebiet von ${\displaystyle {}M}$. Es sei

${\displaystyle \alpha \colon U\longrightarrow V}$

eine Karte mit einer offenen Menge ${\displaystyle {}V\subseteq H}$, ${\displaystyle {}H=\mathbb {R} _{\geq 0}\times \mathbb {R} ^{n-1}}$. Diese Karte induziert einen Homöomorphismus

${\displaystyle N\cap U\longrightarrow \alpha (N\cap U).}$

Diese Karten nehmen wir für ${\displaystyle {}N}$. Die Diffeomorphieeigenschaft der Kartenwechsel zu ${\displaystyle {}M}$ überträgt sich direkt auf die Karten zu ${\displaystyle {}N}$. Sei ${\displaystyle {}P\in N\cap \partial M}$. Dann wird ${\displaystyle {}P}$ unter einer Karte auf einen Randpunkt von ${\displaystyle {}H}$ abgebildet, und da die Karten für ${\displaystyle {}N}$ Einschränkungen von solchen Karten sind, bleibt diese Eigenschaft erhalten. Wenn umgekehrt ${\displaystyle {}P\in \partial N}$ ist, so ist natürlich einerseits ${\displaystyle {}P\in N\subseteq M}$. Andererseits gibt es zu ${\displaystyle {}P}$ eine Karte zu ${\displaystyle {}N}$, die durch Einschränkung von einer Karte zu ${\displaystyle {}M}$ herrührt, in der ${\displaystyle {}P}$ auf einen Randpunkt von ${\displaystyle {}H}$ abgebildet wird.