Die Abbildung ist bijektiv mit der Umkehrabbildung

${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(u,v)\longmapsto \left(u^{\frac {1}{3}},\,v+u^{\frac {2}{3}}\right).}$

Die Jacobi-Matrix ist

${\displaystyle {\begin{pmatrix}3x^{2}&0\\-2x&1\end{pmatrix}}}$

mit der Jacobi-Determinante

${\displaystyle 3x^{2}.}$

Für die Punkte mit ${\displaystyle {}x=0}$ liegt also kein lokaler Diffeomorphismus vor und für die Punkte mit ${\displaystyle {}x\neq 0}$ liegt ein Diffeomorphismus auf das Bild vor. Auf ${\displaystyle {}\mathbb {R} \setminus \{0\}\times \mathbb {R} }$ ist also die Transformationsformel anwendbar. Die Ausnahmemenge ${\displaystyle {}Q\cap {\left\{(x,y)\mid x=0\right\}}}$ hat den Flächeninhalt ${\displaystyle {}0}$ und das gilt nach Fakt auch für das Bild davon. Daher kann man die Transformationsformel anwenden und nach Fubini ist somit

${\displaystyle {}\lambda ^{2}(\varphi (Q))=\int _{Q}3x^{2}d\lambda ^{2}=3\int _{-1}^{3}x^{2}dx\int _{0}^{2}1dy=2x^{3}|_{-1}^{3}=2(27+1)=56\,.}$