Nach Satz 17.13 ist ${\displaystyle {}L}$ der Quotientenkörper des Ganzheitsrings ${\displaystyle {}R}$. Ist ${\displaystyle {}q\in Q(R)=L}$ ganz über ${\displaystyle {}R}$, so ist ${\displaystyle {}q}$ nach Aufgabe ***** auch ganz über ${\displaystyle {}\mathbb {Z} }$ und gehört selbst zu ${\displaystyle {}R}$.

Sei ${\displaystyle {}0\neq f\in {\mathfrak {a}}}$. Dieses Element ist nach der Definition eines Zahlbereiches ganz über ${\displaystyle {}\mathbb {Z} }$ und erfüllt demnach eine Ganzheitsgleichung

${\displaystyle {}f^{n}+k_{n-1}f^{n-1}+k_{n-2}f^{n-2}+\cdots +k_{1}f+k_{0}=0\,}$

mit ganzen Zahlen ${\displaystyle {}k_{i}}$. Bei ${\displaystyle {}k_{0}=0}$ kann man die Gleichung mit ${\displaystyle {}f}$ kürzen, da ${\displaystyle {}f\neq 0}$ ein Nichtnullteiler ist. So kann man sukzessive fortfahren und erhält schließlich eine Ganzheitsgleichung, bei der der konstante Term nicht ${\displaystyle {}0}$ ist. Sei also in obiger Gleichung ${\displaystyle {}k_{0}\neq 0}$. Dann ist

${\displaystyle {}f{\left(f^{n-1}+k_{n-1}f^{n-2}+k_{n-2}f^{n-3}+\cdots +k_{1}\right)}=-k_{0}\,}$

und somit ist ${\displaystyle {}k_{0}\in (f)\cap \mathbb {Z} \subseteq {\mathfrak {a}}}$.

Das Minimalpolynom ${\displaystyle {}P}$ von ${\displaystyle {}f}$ über ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$ ist ein normiertes irreduzibles Polynom mit Koeffizienten aus ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$. Wenn die Koeffizienten sogar ganzzahlig sind, so liegt direkt eine Ganzheitsgleichung für ${\displaystyle {}f}$ über ${\displaystyle {}\mathbb {Z} }$ vor.

Sei umgekehrt ${\displaystyle {}f}$ ganz über ${\displaystyle {}\mathbb {Z} }$, und sei ${\displaystyle {}S\in \mathbb {Z} [X]}$ ein normiertes ganzzahliges Polynom mit ${\displaystyle {}S(f)=0}$, das wir als irreduzibel in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} [X]}$ annehmen dürfen. Wir betrachten ${\displaystyle {}S\in \mathbb {Q} [X]}$. Dort gilt

${\displaystyle {}S=PT\,.}$

Da nach dem Lemma von Gauß ein irreduzibles Polynom von ${\displaystyle {}\mathbb {Z} [X]}$ auch in ${\displaystyle {}{\mathbb {Q} }[X]}$ irreduzibel ist, folgt ${\displaystyle {}S=P}$ und daher sind alle Koeffizienten von ${\displaystyle {}P}$ ganzzahlig.

Es sei ${\displaystyle {}v_{1},\ldots ,v_{n}}$ eine ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$-Basis von ${\displaystyle {}L}$. Das Ideal ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}}$ enthält nach Lemma 18.3 ein Element ${\displaystyle {}0\neq m\in {\mathfrak {a}}\cap \mathbb {Z} }$. Nach (dem Beweis von) Satz 17.13 kann man ${\displaystyle {}v_{i}={\frac {r_{i}}{n_{i}}}}$ mit ${\displaystyle {}r_{i}\in R}$ und ${\displaystyle {}n_{i}\in \mathbb {Z} \setminus \{0\}}$ schreiben. Dann sind die ${\displaystyle {}m(n_{i}v_{i})\in {\mathfrak {a}}}$ und sie bilden ebenfalls eine ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$-Basis von ${\displaystyle {}L}$.

Zunächst sind wegen Fakt ***** die Spuren zu Elementen aus ${\displaystyle {}R}$ ganzzahlig und somit sind auch die in Frage stehenden Diskriminanten ganzzahlig. Man kann also die Diskriminanten bzw. ihre Beträge untereinander der Größe nach vergleichen.

Es sei ${\displaystyle {}f\in {\mathfrak {a}}}$ ein beliebiges Element. Wir haben zu zeigen, dass sich ${\displaystyle {}f}$ als eine ${\displaystyle {}\mathbb {Z} }$-Linearkombination ${\displaystyle {}f=k_{1}b_{1}+\cdots +k_{n}b_{n}}$ mit ${\displaystyle {}k_{i}\in \mathbb {Z} }$ schreiben lässt, wenn die ${\displaystyle {}b_{1},\ldots ,b_{n}\in {\mathfrak {a}}}$ eine ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$-Basis von ${\displaystyle {}L}$ mit minimalem Diskriminantenbetrag bilden. Es gibt eine eindeutige Darstellung

${\displaystyle {}f=q_{1}b_{1}+\cdots +q_{n}b_{n}\,}$

mit rationalen Zahlen ${\displaystyle {}q_{i}\in \mathbb {Q} }$. Sei angenommen, dass ein ${\displaystyle {}q_{i}}$ nicht ganzzahlig ist, wobei wir ${\displaystyle {}i=1}$ annehmen dürfen. Wir schreiben dann ${\displaystyle {}q_{1}=k+\delta }$ mit ${\displaystyle {}k\in \mathbb {Z} }$ und einer rationalen Zahl ${\displaystyle {}\delta }$ (echt) zwischen ${\displaystyle {}0}$ und ${\displaystyle {}1}$. Dann ist auch

${\displaystyle c_{1}=f-kb_{1}=\delta b_{1}+\sum _{i=2}^{n}q_{i}b_{i},\,b_{2},\ldots ,b_{n}}$

eine ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$-Basis von ${\displaystyle {}L}$, die in ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}}$ liegt. Die Übergangsmatrix der beiden Basen ist

${\displaystyle {}T={\begin{pmatrix}\delta &q_{2}&q_{3}&\cdots &q_{n}\\0&1&0&\cdots &0\\0&0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\cdots &1\end{pmatrix}}\,.}$

Nach Lemma 16.2 gilt für die beiden Diskriminanten die Beziehung

${\displaystyle {}\triangle (c_{1},b_{2},\ldots ,b_{n})=(\det(T))^{2}\triangle (b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n})\,.}$

Wegen ${\displaystyle {}(\det(T))^{2}=\delta ^{2}<1}$ und da die Diskriminanten nach Lemma 16.3 nicht ${\displaystyle {}0}$ sind, ist dies ein Widerspruch zur Minimalität der Diskriminante.

Nach Lemma 18.5 gibt es überhaupt Elemente ${\displaystyle {}b_{1},\ldots ,b_{n}\in {\mathfrak {a}}}$, die eine ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$-Basis von ${\displaystyle {}L}$ bilden. Daher gibt es auch solche Basen, wo der (ganzzahlige) Betrag der Diskriminante minimal ist. Für diese gilt nach Satz 18.6, dass sie ein ${\displaystyle {}\mathbb {Z} }$-Erzeugendensystem von ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}}$ bilden. Die lineare Unabhängigkeit über ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$ sichert die Eindeutigkeit der Koeffizienten.

Dies folgt direkt aus Korollar 18.7, angewendet auf das Ideal ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}=R}$.

Nach Fakt ***** ist ${\displaystyle {}R\cong \mathbb {Z} ^{n}}$ (als abelsche Gruppen), wobei die Standardbasis der Ganzheitsbasis ${\displaystyle {}a_{1},\ldots ,a_{n}}$ entsprechen möge. Das von ${\displaystyle {}m}$ in ${\displaystyle {}R}$ erzeugte Ideal besteht aus allen ${\displaystyle {}\mathbb {Z} }$-Linearkombinationen der ${\displaystyle {}ma_{1},\ldots ,ma_{n}}$ und somit entspricht das Ideal (unter dieser Identifizierung) der von ${\displaystyle {}(m,0,\ldots ,0),(0,m,0,\ldots ,0),\ldots ,(0,\ldots ,0,m)}$ erzeugten Untergruppe von ${\displaystyle {}\mathbb {Z} ^{n}}$. Die Restklassengruppe ${\displaystyle {}R/(m)}$ ist demnach gleich ${\displaystyle {}(\mathbb {Z} /(m))^{n}}$ und besitzt ${\displaystyle {}m^{n}}$ Elemente. Aufgrund der Ganzheit ist nach Aufgabe ***** ${\displaystyle {}mR\cap \mathbb {Z} =m\mathbb {Z} }$ und aufgrund des Homomorphiesatzes hat man einen injektiven Ringhomomorphismus

${\displaystyle \mathbb {Z} /(m)\longrightarrow R/(m),}$

so dass ${\displaystyle {}R/(m)}$ eine von ${\displaystyle {}0}$ verschiedene ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(m)}$-Algebra ist.

Für eine Primzahl ${\displaystyle {}p}$ ist ${\displaystyle {}R/(p)}$ ein Vektorraum über ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(p)}$ der Dimension ${\displaystyle {}n}$. Deshalb gibt es darin (mindestens) ein maximales Ideal, und dieses entspricht nach Aufgabe 16.10 einem maximalen Ideal ${\displaystyle {}{\mathfrak {m}}}$ in ${\displaystyle {}R}$ mit ${\displaystyle {}p\in {\mathfrak {m}}}$. Daher ist ${\displaystyle {}(p)=(p)R\cap \mathbb {Z} \subseteq {\mathfrak {m}}\cap \mathbb {Z} }$, und dieser Durchschnitt ist ein Primideal, also gleich ${\displaystyle {}(p)}$.

Nach Korollar 18.7 ist jedes von ${\displaystyle {}0}$ verschiedene Ideal als additive Gruppe isomorph zu ${\displaystyle {}\mathbb {Z} ^{n}}$, also ist insbesondere jedes Ideal als abelsche Gruppe endlich erzeugt. Insbesondere sind die Ideale dann als Ideale (also als ${\displaystyle {}R}$-Moduln) endlich erzeugt.

Als kommutative Gruppe ist ${\displaystyle {}R=\mathbb {Z} ^{n}}$. Sei ${\displaystyle {}a\in {\mathfrak {a}}}$, ${\displaystyle {}a\neq 0}$. Dann ist das von ${\displaystyle {}a}$ erzeugte Hauptideal eine Untergruppe

${\displaystyle {}aR\cong \mathbb {Z} ^{n}\subseteq R\cong \mathbb {Z} ^{n}\,.}$

Deshalb ist die Restklassengruppe ${\displaystyle {}\mathbb {Z} ^{n}/aR}$ endlich und wegen der natürlichen Surjektion ${\displaystyle {}\mathbb {Z} ^{n}/aR\rightarrow R/{\mathfrak {a}}}$ ist auch der Restklassenring endlich.

Sei ${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}}$ ein Primideal ${\displaystyle {}\neq 0}$ in ${\displaystyle {}R}$. Dann ist der Restklassenring ${\displaystyle {}R/{\mathfrak {p}}}$ nach Lemma 16.13 ein Integritätsbereich und nach Satz 18.12 endlich. Ein endlicher Integritätsbereich ist aber nach Aufgabe ***** bereits ein Körper, so dass nach Lemma 16.15 ein maximales Ideal vorliegt.

Dies folgt aus Satz 18.2, aus Korollar 18.11 und aus Satz 18.13.