Als kommutative Gruppe ist ${\displaystyle {}R=\mathbb {Z} ^{n}}$. Sei ${\displaystyle {}a\in {\mathfrak {a}}}$, ${\displaystyle {}a\neq 0}$. Dann ist das von ${\displaystyle {}a}$ erzeugte Hauptideal eine Untergruppe

${\displaystyle {}aR\cong \mathbb {Z} ^{n}\subseteq R\cong \mathbb {Z} ^{n}\,.}$

Deshalb ist die Restklassengruppe ${\displaystyle {}\mathbb {Z} ^{n}/aR}$ endlich und wegen der natürlichen Surjektion ${\displaystyle {}\mathbb {Z} ^{n}/aR\rightarrow R/{\mathfrak {a}}}$ ist auch der Restklassenring endlich.