Nach Fakt ist ${\displaystyle {}R\cong \mathbb {Z} ^{n}}$ (als abelsche Gruppen), wobei die Standardbasis der Ganzheitsbasis ${\displaystyle {}a_{1},\ldots ,a_{n}}$ entsprechen möge. Das von ${\displaystyle {}m}$ in ${\displaystyle {}R}$ erzeugte Ideal besteht aus allen ${\displaystyle {}\mathbb {Z} }$-Linearkombinationen der ${\displaystyle {}ma_{1},\ldots ,ma_{n}}$ und somit entspricht das Ideal (unter dieser Identifizierung) der von ${\displaystyle {}(m,0,\ldots ,0),(0,m,0,\ldots ,0),\ldots ,(0,\ldots ,0,m)}$ erzeugten Untergruppe von ${\displaystyle {}\mathbb {Z} ^{n}}$. Die Restklassengruppe ${\displaystyle {}R/(m)}$ ist demnach gleich ${\displaystyle {}(\mathbb {Z} /(m))^{n}}$ und besitzt ${\displaystyle {}m^{n}}$ Elemente. Aufgrund der Ganzheit ist nach Aufgabe ${\displaystyle {}mR\cap \mathbb {Z} =m\mathbb {Z} }$ und aufgrund des Homomorphiesatzes hat man einen injektiven Ringhomomorphismus

${\displaystyle \mathbb {Z} /(m)\longrightarrow R/(m),}$

so dass ${\displaystyle {}R/(m)}$ eine von ${\displaystyle {}0}$ verschiedene ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(m)}$-Algebra ist.

Für eine Primzahl ${\displaystyle {}p}$ ist ${\displaystyle {}R/(p)}$ ein Vektorraum über ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(p)}$ der Dimension ${\displaystyle {}n}$. Deshalb gibt es darin (mindestens) ein maximales Ideal, und dieses entspricht nach Aufgabe einem maximalen Ideal ${\displaystyle {}{\mathfrak {m}}}$ in ${\displaystyle {}R}$ mit ${\displaystyle {}p\in {\mathfrak {m}}}$. Daher ist ${\displaystyle {}(p)=(p)R\cap \mathbb {Z} \subseteq {\mathfrak {m}}\cap \mathbb {Z} }$, und dieser Durchschnitt ist ein Primideal, also gleich ${\displaystyle {}(p)}$.