Nach Fakt ist jedes von ${\displaystyle {}0}$ verschiedene Ideal als additive Gruppe isomorph zu ${\displaystyle {}\mathbb {Z} ^{n}}$, also ist insbesondere jedes Ideal als abelsche Gruppe endlich erzeugt. Insbesondere sind die Ideale dann als Ideale (also als ${\displaystyle {}R}$-Moduln) endlich erzeugt.