Das Minimalpolynom ${\displaystyle {}P}$ von ${\displaystyle {}f}$ über ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$ ist ein normiertes irreduzibles Polynom mit Koeffizienten aus ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$. Wenn die Koeffizienten sogar ganzzahlig sind, so liegt direkt eine Ganzheitsgleichung für ${\displaystyle {}f}$ über ${\displaystyle {}\mathbb {Z} }$ vor.

Sei umgekehrt ${\displaystyle {}f}$ ganz über ${\displaystyle {}\mathbb {Z} }$, und sei ${\displaystyle {}S\in \mathbb {Z} [X]}$ ein normiertes ganzzahliges Polynom mit ${\displaystyle {}S(f)=0}$, das wir als irreduzibel in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} [X]}$ annehmen dürfen. Wir betrachten ${\displaystyle {}S\in \mathbb {Q} [X]}$. Dort gilt

${\displaystyle {}S=PT\,.}$

Da nach dem Lemma von Gauß ein irreduzibles Polynom von ${\displaystyle {}\mathbb {Z} [X]}$ auch in ${\displaystyle {}{\mathbb {Q} }[X]}$ irreduzibel ist, folgt ${\displaystyle {}S=P}$ und daher sind alle Koeffizienten von ${\displaystyle {}P}$ ganzzahlig.