Bestimme die Richtungsableitung der Funktion

${\displaystyle {\mathbb {K} }^{2}\longrightarrow {\mathbb {K} },\,(x,y)\longmapsto xy,}$

1. im Punkt ${\displaystyle {}(0,0)}$ in Richtung ${\displaystyle {}(1,0)}$,
2. im Punkt ${\displaystyle {}(0,0)}$ in Richtung ${\displaystyle {}(2,5)}$,
3. im Punkt ${\displaystyle {}(1,0)}$ in Richtung ${\displaystyle {}(1,0)}$,
4. im Punkt ${\displaystyle {}(1,0)}$ in Richtung ${\displaystyle {}(0,1)}$,
5. im Punkt ${\displaystyle {}(2,3)}$ in Richtung ${\displaystyle {}(-1,0)}$,
6. im Punkt ${\displaystyle {}(3,7)}$ in Richtung ${\displaystyle {}(5,-4)}$.

Sei

${\displaystyle f\colon {\mathbb {K} }\longrightarrow {\mathbb {K} }}$

Funktion. Zeige, dass ${\displaystyle {}f}$ in einem Punkt ${\displaystyle {}P\in {\mathbb {K} }}$ genau dann differenzierbar ist, wenn ${\displaystyle {}f}$ in ${\displaystyle {}P}$ in Richtung ${\displaystyle {}1}$ differenzierbar ist, und dass dann die Gleichheit

${\displaystyle {\left(D_{1}f\right)}{\left(P\right)}=f'(P)}$

gilt.

Es seien ${\displaystyle {}V}$ und ${\displaystyle {}W}$ reelle endlichdimensionale Vektorräume, ${\displaystyle {}G\subseteq V}$ offen, ${\displaystyle {}P\in G}$ und ${\displaystyle {}v\in V}$. Es sei

${\displaystyle \varphi \colon G\longrightarrow W}$

eine Abbildung. Zeige, dass die Richtungsableitung ${\displaystyle {}{\left(D_{v}\varphi \right)}{\left(P\right)}}$ im Punkt ${\displaystyle {}P}$ genau dann existiert, wenn die Kurve

${\displaystyle I\longrightarrow W,\,t\longmapsto \varphi (P+tv),}$

in ${\displaystyle {}t=0}$ differenzierbar ist. Wie muss dabei das Intervall ${\displaystyle {}I}$ gewählt werden?

Bestimme, für welche Punkte ${\displaystyle {}P\in \mathbb {R} ^{n}}$ und welche Richtungen ${\displaystyle {}v\in \mathbb {R} ^{n}}$ die Richtungsableitung der euklidischen Norm

${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto {\sqrt {x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}},}$

existiert.

Es seien ${\displaystyle {}V}$ und ${\displaystyle {}W}$ reelle endlichdimensionale Vektorräume, ${\displaystyle {}G\subseteq V}$ offen und ${\displaystyle {}v\in V}$ ein Vektor. Es bezeichne ${\displaystyle {}C_{v}^{1}(G,W)}$ die Menge aller in Richtung ${\displaystyle {}v}$ differenzierbaren Abbildungen von ${\displaystyle {}G}$ nach ${\displaystyle {}W}$. Zeige, dass die Abbildung

${\displaystyle C_{v}^{1}(G,W)\longrightarrow {\rm {Abb}}(G,W),\,\varphi \longmapsto D_{v}\varphi ,}$

linear ist.

Untersuche die Funktion

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}-y^{2},}$

im Nullpunkt ${\displaystyle {}(0,0)}$ auf Richtungsableitungen. Man entscheide für jede Gerade ${\displaystyle {}G}$ durch den Nullpunkt, ob die Einschränkung von ${\displaystyle {}f}$ auf ${\displaystyle {}G}$ im Nullpunkt ein Extremum besitzt.

Zeige, dass eine polynomiale Funktion

${\displaystyle f\colon {\mathbb {K} }^{n}\longrightarrow {\mathbb {K} },\,(x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto f(x_{1},\ldots ,x_{n}),}$

stetig ist.

Es sei

${\displaystyle f\colon {\mathbb {K} }^{m}\longrightarrow {\mathbb {K} }^{n}}$

eine Abbildung, die in jeder Komponente polynomial sei und sei

${\displaystyle g\colon {\mathbb {K} }^{n}\longrightarrow {\mathbb {K} }}$

eine polynomiale Funktion. Zeige, dass dann auch die Hintereinanderschaltung ${\displaystyle {}g\circ f}$ eine polynomiale Funktion ist.

Sei ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} }$. Zeige, dass die Determinante

${\displaystyle {\mathbb {K} }^{n^{2}}\cong \operatorname {Mat} _{n\times n}({\mathbb {K} })\longrightarrow {\mathbb {K} },\,M\longmapsto \det M,}$

eine polynomiale Funktion ist.

Bestimme die Richtungsableitung der Funktion

${\displaystyle {\mathbb {K} }^{2}\longrightarrow {\mathbb {K} },\,(x,y)\longmapsto x^{2}\sin y-e^{x}y-x,}$

1. im Punkt ${\displaystyle {}(0,0)}$ in Richtung ${\displaystyle {}(1,0)}$,
2. im Punkt ${\displaystyle {}(0,0)}$ in Richtung ${\displaystyle {}(0,1)}$,
3. im Punkt ${\displaystyle {}(0,0)}$ in Richtung ${\displaystyle {}(2,0)}$,
4. im Punkt ${\displaystyle {}(0,0)}$ in Richtung ${\displaystyle {}(1,-3)}$,
5. im Punkt ${\displaystyle {}(1,1)}$ in Richtung ${\displaystyle {}(1,1)}$,
6. im Punkt ${\displaystyle {}(1,0)}$ in Richtung ${\displaystyle {}(-1,{\frac {1}{2}})}$,
7. im Punkt ${\displaystyle {}(5,7)}$ in Richtung ${\displaystyle {}(1,0)}$,
8. im Punkt ${\displaystyle {}(1,0)}$ in Richtung ${\displaystyle {}(5,7)}$.

Bestimme die Richtungsableitungen der Funktion

${\displaystyle {\mathbb {K} }^{n}\longrightarrow {\mathbb {K} },\,(x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto x_{1}^{r_{1}}{\cdots }x_{n}^{r_{n}},}$

in einem Punkt

${\displaystyle a=(a_{1},\ldots ,a_{n})}$

in Richtung

${\displaystyle v=(v_{1},\ldots ,v_{n}).}$

Zeige, unter Verwendung von Aufgabe 42.11, dass zu einer polynomialen Funktion

${\displaystyle \varphi \colon {\mathbb {K} }^{n}\longrightarrow {\mathbb {K} },\,(x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto \varphi (x_{1},\ldots ,x_{n}),}$

zu einer fixierten Richtung ${\displaystyle {}v\in {\mathbb {K} }^{n}}$ die Richtungsableitung ${\displaystyle {}D_{v}\varphi }$ existiert und selbst polynomial ist.

Es seien ${\displaystyle {}V}$ und ${\displaystyle {}W}$ endlichdimensionale ${\displaystyle {}{\mathbb {K} }}$-Vektorräume, sei ${\displaystyle {}G\subseteq V}$ offen, ${\displaystyle {}P\in G}$ ein Punkt, ${\displaystyle {}v\in V}$ ein Vektor und sei

${\displaystyle f\colon G\longrightarrow W}$

eine Abbildung, die im Punkt ${\displaystyle {}P}$ in Richtung ${\displaystyle {}v}$ differenzierbar sei. Zeige, dass ${\displaystyle {}f}$ auch in Richtung ${\displaystyle {}cv}$ mit ${\displaystyle {}c\in {\mathbb {K} }}$ differenzierbar ist und die Beziehung

${\displaystyle {}{\left(D_{cv}f\right)}{\left(P\right)}=c{\left(D_{v}f\right)}{\left(P\right)}\,}$

gilt.

Seien ${\displaystyle {}D,E,F}$ metrische Räume und sei

${\displaystyle h\colon D\longrightarrow E}$

eine stetige Abbildung. Es sei ${\displaystyle {}P\in D}$ ein Berührpunkt von ${\displaystyle {}D\setminus \{P\}}$ und ${\displaystyle {}h(P)=Q\in E}$ ein Berührpunkt von ${\displaystyle {}E\setminus \{Q\}}$. Es sei

${\displaystyle g\colon E\setminus \{Q\}\longrightarrow F}$

eine Abbildung und es sei vorausgesetzt, dass

${\displaystyle \operatorname {lim} _{y\rightarrow Q}\,g(y)}$

existiert. Zeige, dass dann auch

${\displaystyle \operatorname {lim} _{x\rightarrow P}\,g(h(x))}$

existiert und mit ${\displaystyle {}\operatorname {lim} _{y\rightarrow Q}\,g(y)}$ übereinstimmt.