Seien ${\displaystyle {}v,w\in \mathbb {R} ^{n}}$. Bestimme die Länge der affin-linearen Kurve

${\displaystyle [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,t\longmapsto tv+w.}$

Sei

${\displaystyle f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}}$

eine Kurve und ${\displaystyle {}c\in [a,b]}$. Zeige, dass ${\displaystyle {}f}$ genau dann rektifizierbar ist, wenn die beiden Einschränkungen von ${\displaystyle {}f}$ auf ${\displaystyle {}[a,c]}$ und auf ${\displaystyle {}[c,b]}$ rektifizierbar sind, und dass in diesem Fall

${\displaystyle {}L_{a}^{b}(f)=L_{a}^{c}(f)+L_{c}^{b}(f)\,}$

gilt.

Bestimme die Länge der differenzierbaren Kurve

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{3}-5x^{2}+3x-2,}$

von ${\displaystyle {}-5}$ nach ${\displaystyle {}5}$.

Bestimme die Länge der durch

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,t\longmapsto (\cos t,\sin t,t),}$

gegebenen Schraubenlinie für ${\displaystyle {}t}$ zwischen ${\displaystyle {}0}$ und ${\displaystyle {}b}$, wobei ${\displaystyle {}b\in \mathbb {R} _{\geq 0}}$.

Wir betrachten die Kurve

${\displaystyle \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto (t^{2}-1,t^{3}-t).}$

a) Zeige, dass die Bildpunkte ${\displaystyle {}(x,y)}$ der Kurve die Gleichung

${\displaystyle y^{2}=x^{2}+x^{3}}$

erfüllen.

b) Zeige, dass jeder Punkt ${\displaystyle {}(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}}$ mit ${\displaystyle {}y^{2}=x^{2}+x^{3}}$ zum Bild der Kurve gehört.

c) Zeige, dass es genau zwei Punkte ${\displaystyle {}t_{1}}$ und ${\displaystyle {}t_{2}}$ mit identischem Bildpunkt gibt, und dass ansonsten die Abbildung injektiv ist.

Bestimme die Länge der Neilschen Parabel

${\displaystyle \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto (t^{2},t^{3}),}$

von ${\displaystyle {}0}$ bis ${\displaystyle {}b}$, wobei ${\displaystyle {}b\in \mathbb {R} _{>0}}$.

Bestimme die Länge des Graphen des cosinus hyperbolicus ${\displaystyle {}\cosh t}$ von ${\displaystyle {}a}$ nach ${\displaystyle {}b}$.

Es sei ${\displaystyle {}[a,b]}$ ein kompaktes Intervall und

${\displaystyle f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}}$

eine Abbildung. Zeige, dass ${\displaystyle {}f}$ genau dann rektifizierbar ist, wenn sämtliche Komponentenfunktionen rektifizierbar sind.

Bestimme die Länge der differenzierbaren Kurve

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,t\longmapsto {\left({\frac {t^{3}}{3}},{\frac {4t^{5}}{5}},{\frac {8t^{7}}{7}}\right)},}$

von ${\displaystyle {}a}$ nach ${\displaystyle {}b}$.

Bestimme die Länge der Schleife der differenzierbaren Kurve (siehe Aufgabe 41.5)

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto (t^{2}-1,t^{3}-t).}$

Bestimme die Länge des Graphen der Exponentialfunktion ${\displaystyle {}\exp t}$ von ${\displaystyle {}a}$ nach ${\displaystyle {}b}$.