Es sei ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}\subseteq R}$ ein Ideal in einem kommutativen Ring ${\displaystyle {}R}$. Zeige, dass die Multiplikation auf dem assoziierten graduierten Ring ${\displaystyle {}\operatorname {Gr} _{\mathfrak {a}}R}$ wohldefiniert ist.

Sei ${\displaystyle {}R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$ der Polynomring über einem Körper ${\displaystyle {}K}$ und ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}={\left(X_{1},\ldots ,X_{n}\right)}}$. Zeige, dass der zugehörige assoziierte graduierte Ring isomorph zum Polynomring ist.

Es sei ${\displaystyle {}p}$ eine Primzahl und ${\displaystyle {}R=\mathbb {Z} _{(p)}}$ der zugehörige lokale Ring mit dem maximalen Ideal ${\displaystyle {}{\mathfrak {m}}=(p)\mathbb {Z} _{(p)}}$. Bestimme den assoziierten graduierten Ring zu ${\displaystyle {}{\mathfrak {m}}}$.

Sei ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}={\left(f_{1},\ldots ,f_{n}\right)}\subseteq R}$ ein Ideal in einem kommutativen Ring ${\displaystyle {}R}$. Zeige, dass durch

${\displaystyle R/{\mathfrak {a}}[X_{1},\ldots ,X_{n}]\longrightarrow \operatorname {Gr} _{\mathfrak {a}}R,\,X_{i}\longmapsto [f_{i}],}$

wobei ${\displaystyle {}[f_{i}]}$ die Restklasse von ${\displaystyle {}f_{i}}$ in ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}/{\mathfrak {a}}^{2}}$ bezeichnet, ein surjektiver graduierter ${\displaystyle {}R/{\mathfrak {a}}}$-Algebrahomomorphismus gegeben ist.

Bestimme zu einer monomialen ebenen Kurve ${\displaystyle {}V{\left(X^{a}-Y^{b}\right)}}$ den assoziierten graduierten Ring ${\displaystyle {}\operatorname {Gr} _{\mathfrak {m}}R}$, mit ${\displaystyle {}R=K[X,Y]/{\left(X^{a}-Y^{b}\right)}}$ und ${\displaystyle {}{\mathfrak {m}}=(X,Y)}$.

Sei ${\displaystyle {}R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {b}}}$ und sei ${\displaystyle {}{\mathfrak {m}}={\left(X_{1},\ldots ,X_{n}\right)}}$. Wir setzen

${\displaystyle \varphi \colon K[T_{1},\ldots ,T_{n}]\longrightarrow \operatorname {Gr} _{\mathfrak {m}}R,\,T_{i}\longmapsto {\tilde {X}}_{i},}$

wobei ${\displaystyle {}{\tilde {X}}_{i}}$ die Restklasse von ${\displaystyle {}X_{i}}$ modulo ${\displaystyle {}{\mathfrak {m}}^{2}}$ bezeichnet. Sei ${\displaystyle {}F\in {\mathfrak {b}}}$ mit der homogenen Zerlegung

${\displaystyle {}F=F_{d}+F_{d+1}+\cdots +F_{m}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\,.}$

Zeige, dass ${\displaystyle {}F_{d}(T_{1},\ldots ,T_{n})}$ zum Kern von ${\displaystyle {}\varphi }$ gehört.

Sei ${\displaystyle {}R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {b}}}$ mit einem homogenen Ideal und sei ${\displaystyle {}{\mathfrak {m}}={\left(X_{1},\ldots ,X_{n}\right)}}$. Zeige

${\displaystyle {}\operatorname {Gr} _{\mathfrak {m}}R\cong R\,.}$

Sei ${\displaystyle {}R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(F)}$ mit der homogenen Zerlegung ${\displaystyle {}F=F_{d}+F_{d+1}+\cdots +F_{m}}$ und sei ${\displaystyle {}{\mathfrak {m}}={\left(X_{1},\ldots ,X_{n}\right)}}$. Zeige

${\displaystyle {}\operatorname {Gr} _{\mathfrak {m}}R\cong K[T_{1},\ldots ,T_{n}]/(F_{d})\,.}$

Sei ${\displaystyle {}R}$ ein kommutativer Ring und ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}\subseteq R}$ ein Ideal. Zu einem Untermodul ${\displaystyle {}U\subseteq V}$ eines ${\displaystyle {}R}$-Moduls ${\displaystyle {}V}$ bezeichnet man mit ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}U}$ den von allen Produkten

${\displaystyle fv{\text{ mit }}f\in {\mathfrak {a}}{\text{ und }}v\in U}$

erzeugten Untermodul.

Es seien ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}\subseteq R}$ Ideale in einem kommutativen Ring. Zeige, dass das Idealprodukt ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}}$ mit dem Produkt ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}}$ aus dem Ideal ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}}$ und dem ${\displaystyle {}R}$-Untermodul ${\displaystyle {}{\mathfrak {b}}\subseteq R}$ übereinstimmt.

Es seien ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}\subseteq R}$ Ideale in einem kommutativen Ring und ${\displaystyle {}U\subseteq V}$ ein ${\displaystyle {}R}$-Untermodul eines ${\displaystyle {}R}$-Moduls ${\displaystyle {}V}$. Zeige

${\displaystyle {}{\left({\mathfrak {a}}\cdot {\mathfrak {b}}\right)}\cdot U={\mathfrak {a}}\cdot {\left({\mathfrak {b}}\cdot U\right)}\,.}$

Es seien ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}\subseteq R}$ Ideale in einem kommutativen Ring und sei ${\displaystyle {}U\subseteq V}$ ein ${\displaystyle {}R}$-Untermodul eines ${\displaystyle {}R}$-Moduls ${\displaystyle {}V}$. Zeige

${\displaystyle {}{\left({\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}\right)}\cdot U={\mathfrak {a}}\cdot U+{\mathfrak {b}}\cdot U\,.}$

Es sei ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}\subseteq R}$ ein Ideal in einem kommutativen Ring und seien ${\displaystyle {}U,W\subseteq V}$ ${\displaystyle {}R}$-Untermoduln eines ${\displaystyle {}R}$-Moduls ${\displaystyle {}V}$. Zeige

${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}\cdot {\left(U+W\right)}={\mathfrak {a}}\cdot U+{\mathfrak {a}}\cdot W\,.}$

Es sei ${\displaystyle {}\varphi \colon M\rightarrow N}$ ein Homomorphismus zwischen den ${\displaystyle {}R}$-Moduln ${\displaystyle {}M}$ und ${\displaystyle {}N}$ und sei ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}\subseteq R}$ ein Ideal. Zeige, dass dies in natürlicher Weise zu einem homogenen Homomorphismus

${\displaystyle \operatorname {Gr} _{\mathfrak {a}}M\longrightarrow \operatorname {Gr} _{\mathfrak {a}}N}$

führt.

Es sei ${\displaystyle {}F=F_{m}+\cdots +F_{r}}$ die homogene Zerlegung eines Polynoms ${\displaystyle {}F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$ mit ${\displaystyle {}m\leq r}$ und es sei ${\displaystyle {}{\mathfrak {m}}=(X_{1},\ldots ,X_{n})}$. Zeige, dass für jedes ${\displaystyle {}d\geq m}$ die Multiplikationsabbildung

${\displaystyle K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\longrightarrow K[X_{1},\ldots ,X_{n}],\,G\longmapsto FG,}$

einen injektiven, wohldefinierten ${\displaystyle {}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$-Modulhomomorphismus

${\displaystyle K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {m}}^{d-m}\longrightarrow K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {m}}^{d}}$

festlegt.

Sei ${\displaystyle {}R}$ ein kommutativer Ring und sei ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}}$ ein Ideal mit dem Restklassenring ${\displaystyle {}S=R/{\mathfrak {a}}}$. Zeige, dass die Ideale von ${\displaystyle {}S}$ eindeutig denjenigen Idealen von ${\displaystyle {}R}$ entsprechen, die ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}}$ umfassen.

Sei ${\displaystyle {}R}$ ein kommutativer Ring und sei ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}}$ ein Ideal mit dem Restklassenring ${\displaystyle {}S=R/{\mathfrak {a}}}$. Zu einem Ideal ${\displaystyle {}I\subseteq R}$ welches ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}}$ enthält, sei ${\displaystyle {}I^{\prime }=IR/{\mathfrak {a}}}$ das zugehörige Ideal in ${\displaystyle {}S}$. Zeige, dass es eine kanonische Ringisomorphie

${\displaystyle {}R/I\cong S/I^{\prime }\,}$

gibt.

Sei ${\displaystyle {}R}$ ein kommutativer Ring mit zwei Idealen ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}\subseteq R}$. Es sei ${\displaystyle {}S=R/{\mathfrak {b}}}$ und ${\displaystyle {}{\tilde {\mathfrak {a}}}={\mathfrak {a}}S}$ das Bildideal. Zeige, dass ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}^{n}S={\tilde {\mathfrak {a}}}^{n}}$ ist.

Sei ${\displaystyle {}R}$ ein kommutativer Ring und sei ${\displaystyle {}N}$ ein ${\displaystyle {}R}$-Modul mit ${\displaystyle {}R}$-Untermoduln ${\displaystyle {}L\subseteq M\subseteq N}$. Zeige, dass die Restklassenmoduln durch die kurze exakte Sequenz

${\displaystyle 0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,M/L\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,N/L\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,N/M\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0}$

miteinander in Beziehung stehen.

Sei ${\displaystyle {}R}$ ein kommutativer Ring und seien ${\displaystyle {}I,J\subseteq R}$ Ideale. Zeige, dass die Sequenz

${\displaystyle 0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,R/I\cap J\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,R/I\times R/J\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,R/I+J\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0}$

mit ${\displaystyle {}r\mapsto (r,r)}$ und ${\displaystyle {}(s,t)\mapsto s-t}$ exakt ist.

Bestimme die Hilbert-Samuel-Multiplizität der zweidimensionalen ADE-Singularitäten.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein noetherscher lokaler Ring mit Hilbert-Samuel-Multiplizität ${\displaystyle {}e}$. Bestimme die Hilbert-Samuel-Multiplizität des ${\displaystyle {}R}$-Moduls ${\displaystyle {}R^{n}}$.

Es sei ${\displaystyle {}\Delta }$ ein simplizialer Komplex, ${\displaystyle {}S=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/I_{\Delta }}$ der zugehörige Stanley-Reisner-Ring und ${\displaystyle {}R}$ die Lokalisierung von ${\displaystyle {}S}$ am maximalen Ideal ${\displaystyle {}{\left(X_{1},\ldots ,X_{n}\right)}}$. Die Dimension von ${\displaystyle {}\Delta }$ sei ${\displaystyle {}d}$ und ${\displaystyle {}\Delta }$ besitze ${\displaystyle {}k}$ Facetten. Zeige, dass die Hilbert-Samuel-Multiplizität von ${\displaystyle {}R}$ gleich ${\displaystyle {}k}$ ist.

Es sei

${\displaystyle {}F=F_{m}+F_{m+1}+\cdots +F_{d}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\,}$

die homogene Zerlegung eines Polynoms und

${\displaystyle {}R={\left(K[X_{1},\ldots ,X_{n}]_{\left(X_{1},\ldots ,X_{n}\right)}\right)}/(F)\,}$

der zugehörige lokale Ring. Zeige, dass der Obergrad ${\displaystyle {}d}$ keine Invariante des lokalen Ringes ${\displaystyle {}R}$ ist.

Es sei ${\displaystyle {}V=V(XYZ)\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{3}}}$.

1. Bestimme die glatten Punkte von ${\displaystyle {}V}$.
2. Skizziere ${\displaystyle {}V}$ und den singulären Ort von ${\displaystyle {}V}$.
3. Analysiere das Schnittverhalten von ${\displaystyle {}V}$ mit beliebigen Ebenen.
4. Analysiere das Schnittverhalten von ${\displaystyle {}V}$ mit beliebigen Geraden.
5. Berechne die Hilbert-Funktion des Koordinatenringes ${\displaystyle {}K[X,Y,Z]/(XYZ)}$ für die Argumente ${\displaystyle {}n\leq 4}$.
6. Was ist die Hilbert-Samuel-Multiplizität des lokalen Ringes ${\displaystyle {}K[X,Y,Z]_{(X,Y,Z)}/(XYZ)}$?