Sei ${\displaystyle {}R}$ ein kommutativer Ring und ${\displaystyle {}M=(M,+,0)}$ eine additiv geschriebene kommutative Gruppe. Man nennt ${\displaystyle {}M}$ einen ${\displaystyle {}R}$-Modul, wenn eine Operation

${\displaystyle R\times M\longrightarrow M,\,(r,v)\longmapsto rv=r\cdot v,}$

(Skalarmultiplikation genannt) festgelegt ist, die folgende Axiome erfüllt (dabei seien ${\displaystyle r,s\in R}$ und ${\displaystyle u,v\in M}$ beliebig):

1. ${\displaystyle {}r(su)=(rs)u}$,
2. ${\displaystyle {}r(u+v)=(ru)+(rv)}$,
3. ${\displaystyle {}(r+s)u=(ru)+(su)}$,
4. ${\displaystyle {}1u=u}$.