Es sei ${\displaystyle {}\Delta }$ ein simplizialer Komplex, ${\displaystyle {}S=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/I_{\Delta }}$ der zugehörige Stanley-Reisner-Ring und ${\displaystyle {}R}$ die Lokalisierung von ${\displaystyle {}S}$ am maximalen Ideal ${\displaystyle {}{\left(X_{1},\ldots ,X_{n}\right)}}$. Die Dimension von ${\displaystyle {}\Delta }$ sei ${\displaystyle {}d}$ und ${\displaystyle {}\Delta }$ besitze ${\displaystyle {}k}$ Facetten. Zeige, dass die Hilbert-Samuel-Multiplizität

${\displaystyle {}R}$

${\displaystyle {}k}$