Es sei ${\displaystyle {}F=F_{m}+\cdots +F_{r}}$ die homogene Zerlegung eines Polynoms ${\displaystyle {}F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$ mit ${\displaystyle {}m\leq r}$ und es sei ${\displaystyle {}{\mathfrak {m}}=(X_{1},\ldots ,X_{n})}$. Zeige, dass für jedes ${\displaystyle {}d\geq m}$ die Multiplikationsabbildung

${\displaystyle K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\longrightarrow K[X_{1},\ldots ,X_{n}],\,G\longmapsto FG,}$

einen injektiven, wohldefinierten ${\displaystyle {}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$-Modulhomomorphismus

${\displaystyle K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {m}}^{d-m}\longrightarrow K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {m}}^{d}}$