Es sei ${\displaystyle {}V=V(XYZ)\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{3}}}$.

1. Bestimme die glatten Punkte von ${\displaystyle {}V}$.
2. Skizziere ${\displaystyle {}V}$ und den singulären Ort von ${\displaystyle {}V}$.
3. Analysiere das Schnittverhalten von ${\displaystyle {}V}$ mit beliebigen Ebenen.
4. Analysiere das Schnittverhalten von ${\displaystyle {}V}$ mit beliebigen Geraden.
5. Berechne die Hilbert-Funktion des Koordinatenringes ${\displaystyle {}K[X,Y,Z]/(XYZ)}$ für die Argumente ${\displaystyle {}n\leq 4}$.
6. Was ist die Hilbert-Samuel-Multiplizität des lokalen Ringes ${\displaystyle {}K[X,Y,Z]_{(X,Y,Z)}/(XYZ)}$?