Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die homogene Zerlegung zu einem Polynom ${\displaystyle {}F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$.
2. Ein zusammenhängender topologischer Raum ${\displaystyle {}X}$.
3. Sei ${\displaystyle {}P\in U\subseteq K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}}$ ein Punkt in einer offenen Menge ${\displaystyle {}U}$ im ${\displaystyle {}K}$-Spektrum von ${\displaystyle {}R}$. Sei ${\displaystyle {}f\colon U\rightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{1}=K}$ eine Funktion. Was bedeutet es, dass diese Funktion algebraisch ist?
4. Die Führungszahl zu einem numerischen Monoid ${\displaystyle {}M}$.
5. Die Ordnung zu einem Element ${\displaystyle f\in R,\,f\neq 0}$, in einem diskreten Bewertungsring ${\displaystyle {}R}$.
6. Das projektive Nullstellengebilde zu einem homogenen Polynom ${\displaystyle {}F\in K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]}$.

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über irreduzible Teilmengen und Verschwindungsideale.
2. Der Satz über die Beziehung von faktoriell und normal.
3. Der Satz über das Einsetzen von Potenzreihen in Potenzreihen.

Bestimme die Schnittpunkte des Einheitskreises ${\displaystyle {}E}$ mit dem Kreis ${\displaystyle {}K}$, der den Mittelpunkt ${\displaystyle {}(1,0)}$ und den Radius ${\displaystyle {}2}$ besitzt.

Der Einheitskreis ist die Lösungsmenge der Gleichung

${\displaystyle {}x^{2}+y^{2}=1\,}$

und ${\displaystyle {}K}$ ist die Lösungsmenge der Gleichung

${\displaystyle {}(x-1)^{2}+y^{2}=x^{2}-2x+1+y^{2}=4\,.}$

Wenn man von der zweiten Gleichung die erste abzieht, so erhält man

${\displaystyle {}-2x+1=3\,,}$

also

${\displaystyle {}x=-1\,.}$

Aus der Einheitskreisgleichung folgt daraus, dass

${\displaystyle {}y=0\,}$

sein muss. Der einzige Schnittpunkt ist also ${\displaystyle {}(-1,0)}$ (der in der Tat ein Schnittpunkt ist).

Es sei ${\displaystyle {}C\subseteq \mathbb {R} ^{3}}$ das Bild der Abbildung

${\displaystyle \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,t\longmapsto \left(t,\,\cos t,\,\sin t\right)=\left(x,\,y,\,z\right).}$

1. Erfüllt ${\displaystyle {}C}$ eine algebraische Gleichung?
2. Ist ${\displaystyle {}C}$ eine algebraische Kurve?

1. Das Bild ${\displaystyle {}C}$ erfüllt die algebraische Gleichung ${\displaystyle {}Y^{2}+Z^{2}=1}$.
2. Wir betrachten den Durchschnitt von ${\displaystyle {}C}$ mit der Geraden

   ${\displaystyle {}G=V(Y-1,Z)={\left\{\left(s,\,1,\,0\right)\mid s\in \mathbb {R} \right\}}\,.}$

   Dieser enthält die unendlich vielen Punkte

   ${\displaystyle \left(s,\,1,\,0\right){\text{ mit }}s\in \mathbb {Z} 2\pi .}$

   Die gesamte Gerade gehört aber nicht zum Bild, da beispielsweise ${\displaystyle {}\left({\frac {\pi }{2}},\,1,\,0\right)}$ nicht dazu gehört. Also ist ${\displaystyle {}C}$ keine algebraische Kurve.

Wir betrachten die Varietät der kommutierenden ${\displaystyle {}2\times 2}$-Matrizen, also die Menge der Matrizenpaare

${\displaystyle {}V={\left\{(A,B)\mid A,B\in \operatorname {Mat} _{2}(K),\,AB=BA\right\}}\subseteq \operatorname {Mat} _{2}(K)\times \operatorname {Mat} _{2}(K)\cong {{\mathbb {A} }_{K}^{8}}\,.}$

1. Zeige, dass dies eine affine Varietät ist, und bestimme möglichst einfache Gleichungen, die diese Varietät beschreiben.
2. Zeige, dass die Abbildung

   ${\displaystyle \pi \colon V\longrightarrow \operatorname {Mat} _{2}(K),\,(A,B)\longmapsto A,}$

   surjektiv ist.

3. Bestimme das Urbild von ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}}}$ unter ${\displaystyle {}\pi }$.

1. Es sei

   ${\displaystyle {}A={\begin{pmatrix}X_{1}&X_{2}\\X_{3}&X_{4}\end{pmatrix}}\,}$

   und

   ${\displaystyle {}B={\begin{pmatrix}Y_{1}&Y_{2}\\Y_{3}&Y_{4}\end{pmatrix}}\,.}$

   Dann ist

   ${\displaystyle {}AB={\begin{pmatrix}X_{1}&X_{2}\\X_{3}&X_{4}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}Y_{1}&Y_{2}\\Y_{3}&Y_{4}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}X_{1}Y_{1}+X_{2}Y_{3}&X_{1}Y_{2}+X_{2}Y_{4}\\X_{3}Y_{1}+X_{4}Y_{3}&X_{3}Y_{2}+X_{4}Y_{4}\end{pmatrix}}\,}$

   und

   ${\displaystyle {}BA={\begin{pmatrix}Y_{1}&Y_{2}\\Y_{3}&Y_{4}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}X_{1}&X_{2}\\X_{3}&X_{4}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}X_{1}Y_{1}+X_{3}Y_{2}&X_{2}Y_{1}+X_{4}Y_{2}\\X_{1}Y_{3}+X_{3}Y_{4}&X_{2}Y_{3}+X_{4}Y_{4}\end{pmatrix}}\,.}$

   Diese beiden Produktmatrizen sind genau dann gleich, wenn die vier Einträge übereinstimmen, wenn also

   ${\displaystyle {}X_{1}Y_{1}+X_{2}Y_{3}=X_{1}Y_{1}+X_{3}Y_{2}\,,}$

   ${\displaystyle {}X_{1}Y_{2}+X_{2}Y_{4}=X_{2}Y_{1}+X_{4}Y_{2}\,,}$

   ${\displaystyle {}X_{3}Y_{1}+X_{4}Y_{3}=X_{1}Y_{3}+X_{3}Y_{4}\,}$

   und

   ${\displaystyle {}X_{3}Y_{2}+X_{4}Y_{4}=X_{2}Y_{3}+X_{4}Y_{4}\,}$

   gilt. Somit liegt eine affine Varietät vor. Die erste und die vierte Gleichung sind zueinander und zu ${\displaystyle {}X_{2}Y_{3}=X_{3}Y_{2}}$, äquivalent, also werden die kommutierenden Matrizen durch das Gleichungssystem

   ${\displaystyle {}X_{2}Y_{3}=X_{3}Y_{2}\,,}$

   ${\displaystyle {}X_{1}Y_{2}+X_{2}Y_{4}=X_{2}Y_{1}+X_{4}Y_{2}\,,}$

   ${\displaystyle {}X_{3}Y_{1}+X_{4}Y_{3}=X_{1}Y_{3}+X_{3}Y_{4}\,}$

   beschrieben.

2. Die Einheitsmatrix ${\displaystyle {}E_{2}}$ kommutiert mit jeder Matrix, daher ist ${\displaystyle {}(A,E_{2})}$ ein Urbild von ${\displaystyle {}A}$.
3. Es geht um die Matrizen

   ${\displaystyle {}B={\begin{pmatrix}Y_{1}&Y_{2}\\Y_{3}&Y_{4}\end{pmatrix}}\,,}$

   die zu

   ${\displaystyle {}A={\begin{pmatrix}X_{1}&X_{2}\\X_{3}&X_{4}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}}\,}$

   das obige Gleichungssystem erfüllen. Die Bedingungen werden zu

   ${\displaystyle {}Y_{3}=0\,,}$

   ${\displaystyle {}Y_{2}+Y_{4}=Y_{1}\,,}$

   ${\displaystyle {}0=Y_{3}\,,}$

   wobei man die dritte Bedingung weglassen kann. Das Urbild von ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}}}$ ist also

   ${\displaystyle {\left\{\left({\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}Y_{2}+Y_{4}&Y_{2}\\0&Y_{4}\end{pmatrix}}\right)\mid Y_{2},Y_{4}\in K\right\}}.}$

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein kommutativer Ring und sei ${\displaystyle {}p\in R}$ ein Primelement. Zeige, dass ${\displaystyle {}p}$ auch im Polynomring ${\displaystyle {}R[X]}$ prim ist.

Sei ${\displaystyle {}ph=fg}$. Wir nehmen an, dass ${\displaystyle {}p}$ weder ${\displaystyle {}f}$ noch ${\displaystyle {}g}$ teilt. Dann teilt ${\displaystyle {}p}$ nicht alle Koeffizienten von ${\displaystyle {}f}$ und von ${\displaystyle {}g}$. Es sei ${\displaystyle {}f=\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}}$ und ${\displaystyle {}g=\sum _{j=0}^{m}b_{j}X^{j}}$ und es seien ${\displaystyle {}i_{0}}$ bzw. ${\displaystyle {}j_{0}}$ die kleinsten Indizes derart, dass ${\displaystyle {}a_{i_{0}}}$ (bzw. ${\displaystyle b_{j_{0}}}$) kein Vielfaches von ${\displaystyle {}p}$ ist (für alle kleineren Indizes sind die Koeffizienten also Vielfache von ${\displaystyle {}p}$). Wir betrachten den ${\displaystyle {}(i_{0}+j_{0})}$-ten Koeffizienten von ${\displaystyle {}fg}$, dieser ist

${\displaystyle c_{i_{0}+j_{0}}=a_{0}b_{i_{0}+j_{0}}+\cdots +a_{i_{0}-1}b_{j_{0}+1}+a_{i_{0}}b_{j_{0}}+a_{i_{0}+1}b_{j_{0}-1}+\cdots +a_{i_{0}+j_{0}}b_{0}}$

Die Summanden links sind Vielfache von ${\displaystyle {}p}$ aufgrund der Wahl von ${\displaystyle {}i_{0}}$ und die Summanden rechts sind ebenso Vielfache von ${\displaystyle {}p}$. Da auch der Gesamtkoeffizient nach Voraussetzung ein Vielfaches von ${\displaystyle {}p}$ ist, muss auch der mittlere Summand ${\displaystyle {}a_{i_{0}}b_{j_{0}}}$ ein Vielfaches von ${\displaystyle {}p}$ sein. Da ${\displaystyle {}p}$ prim ist, ist dies ein Widerspruch.

Es seien

${\displaystyle {}F=X^{4}+9X^{3}Y+7X^{2}Y^{2}+XY^{3}+8Y^{4}\,}$

und

${\displaystyle {}G=X^{3}+5X^{2}Y\,.}$

Finde homogene Polynome ${\displaystyle {}Q,R\in \mathbb {Q} [X,Y]}$, ${\displaystyle {}Q\neq 0}$, mit

${\displaystyle {}F=GQ+R\,.}$

Durch Division mit Rest (im homogenen Fall) erhält man

${\displaystyle {}X^{4}+9X^{3}Y+7X^{2}Y^{2}+XY^{3}+8Y^{4}={\left(X^{3}+5X^{2}Y\right)}{\left(X+4Y\right)}-13X^{2}Y^{2}+XY^{3}+8Y^{4}\,,}$

also ist

${\displaystyle {}Q=X+4Y\,}$

und

${\displaystyle {}R=-13X^{2}Y^{2}+XY^{3}+8Y^{4}\,.}$

Man gebe ein Beispiel für eine polynomiale Abbildung

${\displaystyle {\mathbb {A} }_{K}^{2}\longrightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{1}}$

derart, dass das Urbild von einem Punkt reduzibel ist, das Urbild von allen anderen Punkten aber irreduzibel.

Sei ${\displaystyle {}K}$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Wir betrachten die Abbildung

${\displaystyle {\mathbb {A} }_{K}^{2}\longrightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{1},\,(x,y)\longmapsto xy.}$

Die Faser über dem Nullpunkt ist das Achsenkreuz ${\displaystyle {}V(xy)=V(x)\cup V(y)}$, das nicht irreduzibel. Die Faser über einem Punkt ${\displaystyle {}\lambda \in K}$, ${\displaystyle {}\lambda \neq 0}$, ist ${\displaystyle {}V(xy-\lambda )}$. Es genügt zu zeigen, dass ${\displaystyle {}xy-\lambda }$ ein Primpolynom ist. Dies folgt aber aus der Isomorphie

${\displaystyle K[x,y]/(xy-\lambda )\longrightarrow K[u]_{u},\,x\mapsto u,\,y\mapsto \lambda u^{-1},}$

mit der Umkehrabbildung ${\displaystyle {}u\mapsto x}$. Die universellen Eigenschaften von Restklassenbildung und Nenneraufnahme sichern dabei, dass wirklich eine Bijektion vorliegt.

Beweise den Satz über die Restklassenringe zu affin-linear äquivalenten affin-algebraischen Teilmengen ${\displaystyle {}V,{\tilde {V}}\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}}$.

Nach Definition von affin-linear äquivalent gibt es eine affin-lineare Variablentransformation

${\displaystyle {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{n}},\,P\longmapsto \varphi (P),}$

mit ${\displaystyle {}\varphi ^{-1}(V)={\tilde {V}}}$. Es sei ${\displaystyle {}{\tilde {\varphi }}}$ der zugehörige Automorphismus des Polynomrings ${\displaystyle {}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$. Dabei ist

${\displaystyle {}{\tilde {\varphi }}^{-1}\,(\operatorname {Id} ({\tilde {V}}))=\operatorname {Id} \,(V)\,.}$

Nach dem Isomorphiesatz folgt die Isomorphie der Restklassenringe.

Sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper, ${\displaystyle {}R}$ eine endlich erzeugte ${\displaystyle {}K}$-Algebra, sei ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}\subseteq R}$ ein Ideal und sei ${\displaystyle {}X=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}}$. In welcher Beziehung stehen die beiden Aussagen

${\displaystyle V({\mathfrak {a}})=\emptyset {\text{ und }}{\mathfrak {a}}{\text{ ist das Einheitsideal}}}$

und die beiden Aussagen

${\displaystyle V({\mathfrak {a}})=X{\text{ und }}{\mathfrak {a}}{\text{ ist nilpotent}}}$

zueinander. Zeige, dass die Antwort davon abhängt, ob ${\displaystyle {}K}$ algebraisch abgeschlossen ist oder nicht.

Wenn ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}}$ das Einheitsideal ist, so ist ${\displaystyle {}V({\mathfrak {a}})=\emptyset }$, da die ${\displaystyle {}1}$ in keinem Punkt verschwindet. Die Umkehrung davon gilt wenn ${\displaystyle {}K}$ algebraisch abgeschlossen ist, da dann aus der Voraussetzung ${\displaystyle {}V(1)\subseteq V({\mathfrak {a}})}$ (da beides die leere Menge ist) mit dem Hilbertschen Nullstellensatz sofort ${\displaystyle {}1=1^{n}\in {\mathfrak {a}}}$ gilt. Bei ${\displaystyle {}K=\mathbb {R} }$ gilt die Aussage nicht, wie das Polynom ${\displaystyle {}F=X^{2}+1}$ zeigt, das keine Einheit ist, dessen Nullstellenmenge aber leer ist.

Wenn ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}}$ nilpotent ist, so ist jedes Element davon nilpotent und damit verschwindet jedes Element davon unter jedem Ringhomomorphismus in einen Körper (da ein Körper reduziert ist). Bei einem algebraisch abgeschlossenen Grundkörper gilt wieder die Umkehrung, da man die Voraussetzung für jedes ${\displaystyle {}f\in {\mathfrak {a}}}$ schreiben kann als ${\displaystyle {}V({\mathfrak {a}})\subseteq V(f)=X=V(0)}$. Nach dem Hilbertschen Nullstellensatz folgt daraus ${\displaystyle {}f^{n}=0}$, d.h. ${\displaystyle {}f}$ ist nilpotent (in einem noetherschen Ring ist dann auch das Ideal selbst nilpotent). Über einem endlichen Körper gilt die Umkehrung nicht. Bei ${\displaystyle {}K=\mathbb {F} _{2}}$ ist das Polynom ${\displaystyle {}X^{2}-X\in K[X]}$ nicht nilpotent, aber es verschwindet an beiden (allen) Punkten.

Beweise den Satz über den globalen Schnittring eines ${\displaystyle {}K}$-Spektrums.

Ein Element ${\displaystyle {}F\in R}$ liefert direkt eine algebraische Funktion auf ganz ${\displaystyle {}V}$, was einen ${\displaystyle {}K}$-Algebrahomomorphismus

${\displaystyle R\longrightarrow \Gamma (V,{\mathcal {O}})}$

ergibt. Wenn dabei ${\displaystyle {}F}$ an jedem Punkt die Nullfunktion induziert, so ist nach Fakt ***** und wegen der Reduziertheit auch ${\displaystyle {}F=0}$. D.h. die Abbildung ist injektiv.

Sei nun ${\displaystyle {}f\colon V\rightarrow K}$ ein algebraische Funktion. Dann gibt es zu jedem Punkt ${\displaystyle {}P\in V}$ zwei Elemente ${\displaystyle {}G_{P},H_{P}\in R}$ mit ${\displaystyle {}P\in D(H_{P})}$ und mit ${\displaystyle {}f={\frac {G_{P}}{H_{P}}}}$ auf ${\displaystyle {}D(H_{P})}$. Die ${\displaystyle {}D(H_{P})}$ bilden eine offene Überdeckung von ${\displaystyle {}V}$ und das bedeutet nach Fakt *****, dass die ${\displaystyle {}H_{P}}$ in ${\displaystyle {}R}$ das Einheitsideal erzeugen. Dann gibt es aber auch eine endliche Auswahl davon, die das Einheitsideal erzeugen, sagen wir ${\displaystyle {}H_{i}=H_{P_{i}}}$, ${\displaystyle {}i=1,\ldots ,m}$. Dann wiederum überdecken diese ${\displaystyle {}D(H_{i})}$, ${\displaystyle {}i=1,\ldots ,m}$, ganz ${\displaystyle {}V}$.

Auf den Durchschnitten ${\displaystyle {}D(H_{i}H_{j})=D(H_{i})\cap D(H_{j})}$ haben wir die Identitäten

${\displaystyle f(Q)={\frac {G_{i}(Q)}{H_{i}(Q)}}={\frac {G_{j}(Q)}{H_{j}(Q)}}{\text{ für alle }}Q\in D(H_{i}H_{j}).}$

Daraus folgt nach Fakt ***** und der Reduziertheit, dass

${\displaystyle {}H_{i}H_{j}G_{i}H_{j}=H_{i}H_{j}G_{j}H_{i}\,}$

in ${\displaystyle {}R}$ gilt. Wir ersetzen ${\displaystyle {}H_{i}}$ durch ${\displaystyle {}H_{i}^{2}}$ und ${\displaystyle {}G_{i}}$ durch ${\displaystyle {}G_{i}H_{i}}$. Dann ist nach wie vor ${\displaystyle {}G_{i}/H_{i}}$ eine lokale Beschreibung für ${\displaystyle {}f}$, und die letzte Bedingung vereinfacht sich zu

${\displaystyle {}H_{i}G_{j}=H_{j}G_{i}\,.}$

Da die ${\displaystyle {}H_{i}}$ das Einheitsideal erzeugen, gibt es Elemente ${\displaystyle {}A_{i}\in R}$ mit

${\displaystyle {}\sum _{i=1}^{m}A_{i}H_{i}=1\,}$

in ${\displaystyle {}R}$. Wir behaupten, dass das Element

${\displaystyle {}F=\sum _{i=1}^{m}A_{i}G_{i}\,}$

auf ganz ${\displaystyle {}V}$ die Funktion ${\displaystyle {}f}$ induziert. Dazu sei ${\displaystyle {}Q\in V}$ ein beliebiger Punkt, und zwar sei ohne Einschränkung ${\displaystyle {}Q\in D(H_{1})}$. Dann ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}f(Q)&={\frac {G_{1}(Q)}{H_{1}(Q)}}\\&={\frac {G_{1}(Q)}{H_{1}(Q)}}{\left(\sum _{i=1}^{m}A_{i}H_{i}\right)}(Q))\\&=\sum _{i=1}^{m}A_{i}(Q){\frac {G_{1}(Q)H_{i}(Q)}{H_{1}(Q)}}\\&=\sum _{i=1}^{m}A_{i}(Q)G_{i}(Q)\\&=F(Q).\end{aligned}}}$

Zeige, dass durch

${\displaystyle \varphi \colon V(Z^{2}+W^{2}-1)\longrightarrow V(X^{2}+Y^{2}-1),\,(Z,W)\longmapsto (Z^{2}-W^{2},2ZW)=(X,Y).}$

ein Morphismus des Einheitskreises in sich gegeben ist. Zeige, dass das Urbild zu jedem Punkt ${\displaystyle {}P\in V(X^{2}+Y^{2}-1)}$ aus zwei Punkten besteht.

Es liegt ein Morphismus

${\displaystyle V(Z^{2}+W^{2}-1)\longrightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{2}}$

vor. Es ist also lediglich zu zeigen, dass das Bild die Kreisgleichung erfüllt. Dies ergibt sich aus

${\displaystyle {}{\begin{aligned}X^{2}+Y^{2}&={\left(Z^{2}-W^{2}\right)}^{2}+4Z^{2}W^{2}\\&={\left(Z^{2}-{\left(1-Z^{2}\right)}\right)}^{2}+4Z^{2}{\left(1-Z^{2}\right)}\\&={\left(2Z^{2}-1\right)}^{2}+4Z^{2}{\left(1-Z^{2}\right)}\\&=4Z^{4}-4Z^{2}+1+4Z^{2}-4Z^{4}\\&=1.\end{aligned}}}$

Wir betrachten das Nullstellengebilde

${\displaystyle {}C=V(Y^{2}-X^{4})\subseteq {\mathbb {A} }_{\mathbb {C} }^{2}\,.}$

1. Ist ${\displaystyle {}C}$ irreduzibel?
2. Kann man den Koordinatenring ${\displaystyle {}\mathbb {C} [X,Y]/(Y^{2}-X^{4})}$ als Monoidring erhalten?
3. Kann man den Koordinatenring ${\displaystyle {}\mathbb {C} [X,Y]/(Y^{2}-X^{4})}$ als Monoidring zu einem Untermonoid ${\displaystyle {}M\subseteq \mathbb {N} \times \mathbb {Z} /(2)}$ erhalten?

1. Es ist

   ${\displaystyle {}Y^{2}-X^{4}=(Y-X^{2})(Y+X^{2})\,,}$

   damit ist die Kurve nicht irreduzibel.

2. Wir betrachten das durch zwei Erzeuger ${\displaystyle {}e,f}$ mit der einzigen Relation

   ${\displaystyle {}2f=4e\,}$

   gegebene Monoid ${\displaystyle {}M}$, damit ist

   ${\displaystyle {}\mathbb {C} [M]=\mathbb {C} [X,Y]/(Y^{2}-X^{4})\,.}$

3. Wir betrachten

   ${\displaystyle {}e=(1,1)\in \mathbb {N} \times \mathbb {Z} /(2)\,}$

   und

   ${\displaystyle {}f=(2,1)\in \mathbb {N} \times \mathbb {Z} /(2)\,.}$

   Dann gilt ${\displaystyle {}2f=4e}$, alle weiteren Relationen sind aber Vielfache davon, da bei einer Gleichung

   ${\displaystyle {}af=be\,}$

   mit ${\displaystyle {}a,b\in \mathbb {N} }$ wegen der ersten Koordinate

   ${\displaystyle {}b=2a\,}$

   sein muss und wegen der zweiten Koordinate auch ${\displaystyle {}a}$ gerade sein muss.

Bestimme die Multiplizität und die Tangenten (mit ihrer Multiplizität) der Kurve

${\displaystyle {}V{\left(X^{2}+5Y^{2}+3X^{2}Y-7XY^{2}+11X^{9}\right)}\subset {\mathbb {A} }_{\mathbb {C} }^{2}\,}$

im Nullpunkt.

Die homogene Stufe minimalen Grades des Polynoms ist

${\displaystyle {}X^{2}+5Y^{2}=(X-{\sqrt {5}}{\mathrm {i} }Y)(X+{\sqrt {5}}{\mathrm {i} }Y)\,.}$

Daher sind die Geraden

${\displaystyle V(X-{\sqrt {5}}{\mathrm {i} }Y)\,\,{\text{ und }}\,\,V(X+{\sqrt {5}}{\mathrm {i} }Y)}$

die Tangenten an die Kurve im Nullpunkt. Die Multiplizitäten der Tangenten sind jeweils ${\displaystyle {}1}$, da die Linearformen einfach in der Faktorzerlegung vorkommen.

1. Zeige, dass formales partielles Ableiten auf dem Polynomring ${\displaystyle {}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$ bezüglich einer Variablen und Dehomogenisieren bezüglich einer anderen Variablen vertauschbar sind.
2. Zeige, dass dies nicht für die gleiche Variable stimmt.

1. Da beide Prozesse linear sind, kann man sich auf Monome

   ${\displaystyle X_{1}^{\nu _{1}}X_{2}^{\nu _{2}}X_{3}^{\nu _{3}}\cdots X_{n}^{\nu _{n}}}$

   beschränken, und die Situation betrachten, dass man nach ${\displaystyle {}X_{1}}$ ableitet und nach ${\displaystyle {}X_{2}}$ dehomogenisiert. Die partielle Ableitung davon ist

   ${\displaystyle \nu _{1}X_{1}^{\nu _{1}-1}X_{2}^{\nu _{2}}X_{3}^{\nu _{3}}\cdots X_{n}^{\nu _{n}},}$

   die Dehomogenisierung liefert

   ${\displaystyle \nu _{1}X_{1}^{\nu _{1}-1}X_{3}^{\nu _{3}}\cdots X_{n}^{\nu _{n}}.}$

   Wenn man zuerst dehomogenisiert, so erhält man

   ${\displaystyle X_{1}^{\nu _{1}}X_{3}^{\nu _{3}}\cdots X_{n}^{\nu _{n}}}$

   und die partielle Ableitung ergibt ebenfalls

   ${\displaystyle \nu _{1}X_{1}^{\nu _{1}-1}X_{3}^{\nu _{3}}\cdots X_{n}^{\nu _{n}}.}$

2. Betrachte ${\displaystyle {}X_{1}}$. Die Ableitung nach ${\displaystyle {}X_{1}}$ ergibt ${\displaystyle {}1}$, dies bleibt bei Dehomogenisierung erhalten. Wenn man zuerst nach ${\displaystyle {}X_{1}}$ dehomogenisiert, so erhält man ${\displaystyle {}1}$ und die Ableitung davon ist ${\displaystyle {}0}$.

Sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper. Betrachte die affine ebene Kurve

${\displaystyle {}C=V{\left(Y-X^{3}+X+2\right)}\,.}$

Definiere einen Isomorphismus zwischen ${\displaystyle {}C}$ und der affinen Geraden ${\displaystyle {}{\mathbb {A} }_{K}^{1}}$. Lässt sich ein solcher Isomorphismus zu einem Isomorphismus zwischen ${\displaystyle {}{\mathbb {P} }_{K}^{1}}$ und dem projektiven Abschluss ${\displaystyle {}{\bar {C}}\subset {\mathbb {P} }_{K}^{2}}$ fortsetzen?

Ein Isomorphismus wird gegeben durch

${\displaystyle x\longmapsto (x,x^{3}-x-2)=(x,y).}$

Auf der Ringebene entpricht dem der Einsetzungshomomorphismus

${\displaystyle K[X,Y]/(Y-X^{3}+X+2)\longrightarrow K[X],\,X\longmapsto X,\,Y\longmapsto X^{3}-X-2.}$

Dieser ist offenbar surjektiv und wohldefiniert. Da man links direkt ${\displaystyle {}Y}$ eliminieren kann, steht links der Polynomring ${\displaystyle {}K[X]}$, so dass eine Isomorphie vorliegt.

Man kann einen solchen Isomorphismus nicht zu einem Isomorphismus fortsetzen, da der projektive Abschluss der Kurve nicht isomorph zur projektiven Geraden ist. Dies liegt daran, dass der projektive Abschluss durch ${\displaystyle {}V_{+}(YZ^{2}-X^{3}+XZ^{2}+2Z^{3})}$ beschrieben wird und genau der unendlich ferne Punkte ${\displaystyle {}(0,1,0)}$ dazu kommt. Dieser Punkt ist aber in der affinen Umgebung ${\displaystyle {}D_{+}(Y)}$ der Nullpunkt auf der affinen Kurve ${\displaystyle {}V(Z^{2}-X^{3}+XZ^{2}+2Z^{3})}$, der die Multiplizität zwei besitzt und daher nicht glatt ist.

Zeige, dass der Produktraum ${\displaystyle {}{\mathbb {P} }_{K}^{1}\times {\mathbb {P} }_{K}^{1}}$ und die projektive Ebene ${\displaystyle {}{\mathbb {P} }_{K}^{2}}$ nicht zueinander isomorph sind.

Auf der projektiven Ebene schneiden sich je zwei Kurven. Auf dem Produkt ${\displaystyle {}{\mathbb {P} }_{K}^{1}\times {\mathbb {P} }_{K}^{1}}$ gibt es hingegen disjunkte Kurven, beispielsweise zu Punkten ${\displaystyle {}P\neq Q\in {\mathbb {P} }_{K}^{1}}$ die Geraden ${\displaystyle {}P\times {\mathbb {P} }_{K}^{1}}$ und ${\displaystyle {}Q\times {\mathbb {P} }_{K}^{1}}$.