Homogenes Polynom/Partielle Ableitung/Dehomogenisierung/Aufgabe/Lösung

Da beide Prozesse linear sind, kann man sich auf Monome
$X_{1}^{\nu _{1}}X_{2}^{\nu _{2}}X_{3}^{\nu _{3}}\cdots X_{n}^{\nu _{n}}$
beschränken, und die Situation betrachten, dass man nach ${}X_{1}$ ableitet und nach ${}X_{2}$ dehomogenisiert. Die partielle Ableitung davon ist
$\nu _{1}X_{1}^{\nu _{1}-1}X_{2}^{\nu _{2}}X_{3}^{\nu _{3}}\cdots X_{n}^{\nu _{n}},$
die Dehomogenisierung liefert
$\nu _{1}X_{1}^{\nu _{1}-1}X_{3}^{\nu _{3}}\cdots X_{n}^{\nu _{n}}.$

Wenn man zuerst dehomogenisiert, so erhält man

$X_{1}^{\nu _{1}}X_{3}^{\nu _{3}}\cdots X_{n}^{\nu _{n}}$

und die partielle Ableitung ergibt ebenfalls

$\nu _{1}X_{1}^{\nu _{1}-1}X_{3}^{\nu _{3}}\cdots X_{n}^{\nu _{n}}.$
Betrachte ${}X_{1}$ . Die Ableitung nach ${}X_{1}$ ergibt ${}1$ , dies bleibt bei Dehomogenisierung erhalten. Wenn man zuerst nach ${}X_{1}$ dehomogenisiert, so erhält man ${}1$ und die Ableitung davon ist ${}0$ .

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