Wir betrachten die Varietät der kommutierenden ${\displaystyle {}2\times 2}$-Matrizen, also die Menge der Matrizenpaare

${\displaystyle {}V={\left\{(A,B)\mid A,B\in \operatorname {Mat} _{2}(K),\,AB=BA\right\}}\subseteq \operatorname {Mat} _{2}(K)\times \operatorname {Mat} _{2}(K)\cong {{\mathbb {A} }_{K}^{8}}\,.}$

1. Zeige, dass dies eine affine Varietät ist, und bestimme möglichst einfache Gleichungen, die diese Varietät beschreiben.
2. Zeige, dass die Abbildung

   ${\displaystyle \pi \colon V\longrightarrow \operatorname {Mat} _{2}(K),\,(A,B)\longmapsto A,}$

   surjektiv ist.

3. Bestimme das Urbild von ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}}}$ unter ${\displaystyle {}\pi }$.