${\displaystyle {}A={\begin{pmatrix}X_{1}&X_{2}\\X_{3}&X_{4}\end{pmatrix}}\,}$

und

${\displaystyle {}B={\begin{pmatrix}Y_{1}&Y_{2}\\Y_{3}&Y_{4}\end{pmatrix}}\,.}$

Dann ist

${\displaystyle {}AB={\begin{pmatrix}X_{1}&X_{2}\\X_{3}&X_{4}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}Y_{1}&Y_{2}\\Y_{3}&Y_{4}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}X_{1}Y_{1}+X_{2}Y_{3}&X_{1}Y_{2}+X_{2}Y_{4}\\X_{3}Y_{1}+X_{4}Y_{3}&X_{3}Y_{2}+X_{4}Y_{4}\end{pmatrix}}\,}$

und

${\displaystyle {}BA={\begin{pmatrix}Y_{1}&Y_{2}\\Y_{3}&Y_{4}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}X_{1}&X_{2}\\X_{3}&X_{4}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}X_{1}Y_{1}+X_{3}Y_{2}&X_{2}Y_{1}+X_{4}Y_{2}\\X_{1}Y_{3}+X_{3}Y_{4}&X_{2}Y_{3}+X_{4}Y_{4}\end{pmatrix}}\,.}$

Diese beiden Produktmatrizen sind genau dann gleich, wenn die vier Einträge übereinstimmen, wenn also

${\displaystyle {}X_{1}Y_{1}+X_{2}Y_{3}=X_{1}Y_{1}+X_{3}Y_{2}\,,}$

${\displaystyle {}X_{1}Y_{2}+X_{2}Y_{4}=X_{2}Y_{1}+X_{4}Y_{2}\,,}$

${\displaystyle {}X_{3}Y_{1}+X_{4}Y_{3}=X_{1}Y_{3}+X_{3}Y_{4}\,}$

und

${\displaystyle {}X_{3}Y_{2}+X_{4}Y_{4}=X_{2}Y_{3}+X_{4}Y_{4}\,}$

gilt. Somit liegt eine affine Varietät vor. Die erste und die vierte Gleichung sind zueinander und zu ${\displaystyle {}X_{2}Y_{3}=X_{3}Y_{2}}$, äquivalent, also werden die kommutierenden Matrizen durch das Gleichungssystem

${\displaystyle {}X_{2}Y_{3}=X_{3}Y_{2}\,,}$

${\displaystyle {}X_{1}Y_{2}+X_{2}Y_{4}=X_{2}Y_{1}+X_{4}Y_{2}\,,}$

${\displaystyle {}X_{3}Y_{1}+X_{4}Y_{3}=X_{1}Y_{3}+X_{3}Y_{4}\,}$

beschrieben.

${\displaystyle {}B={\begin{pmatrix}Y_{1}&Y_{2}\\Y_{3}&Y_{4}\end{pmatrix}}\,,}$

die zu

${\displaystyle {}A={\begin{pmatrix}X_{1}&X_{2}\\X_{3}&X_{4}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}}\,}$

das obige Gleichungssystem erfüllen. Die Bedingungen werden zu

${\displaystyle {}Y_{3}=0\,,}$

${\displaystyle {}Y_{2}+Y_{4}=Y_{1}\,,}$

${\displaystyle {}0=Y_{3}\,,}$

wobei man die dritte Bedingung weglassen kann. Das Urbild von ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}}}$ ist also

${\displaystyle {\left\{\left({\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}Y_{2}+Y_{4}&Y_{2}\\0&Y_{4}\end{pmatrix}}\right)\mid Y_{2},Y_{4}\in K\right\}}.}$