${\displaystyle {}Y^{2}-X^{4}=(Y-X^{2})(Y+X^{2})\,,}$

damit ist die Kurve nicht irreduzibel.

${\displaystyle {}e,f}$

${\displaystyle {}2f=4e\,}$

gegebene Monoid ${\displaystyle {}M}$, damit ist

${\displaystyle {}\mathbb {C} [M]=\mathbb {C} [X,Y]/(Y^{2}-X^{4})\,.}$

${\displaystyle {}e=(1,1)\in \mathbb {N} \times \mathbb {Z} /(2)\,}$

und

${\displaystyle {}f=(2,1)\in \mathbb {N} \times \mathbb {Z} /(2)\,.}$

Dann gilt ${\displaystyle {}2f=4e}$, alle weiteren Relationen sind aber Vielfache davon, da bei einer Gleichung

${\displaystyle {}af=be\,}$

mit ${\displaystyle {}a,b\in \mathbb {N} }$ wegen der ersten Koordinate

${\displaystyle {}b=2a\,}$

sein muss und wegen der zweiten Koordinate auch ${\displaystyle {}a}$ gerade sein muss.