Zeige, dass zu ${\displaystyle {}P\in V{\left(X^{a}-Y^{b}\right)}}$ mit ${\displaystyle {}a,b\geq 2}$ und teilerfremd der lokale Ring ${\displaystyle {}{\left(K[X,Y]_{{\mathfrak {m}}_{P}}\right)}/{\left(X^{a}-Y^{b}\right)}}$ für ${\displaystyle {}P=(0,0)}$ nicht regulär ist und für alle anderen Punkte regulär ist. Man gebe für ${\displaystyle {}P=(1,1)}$ einen Erzeuger des maximalen Ideals an.

Es sei ${\displaystyle {}M\subseteq \mathbb {N} }$ ein numerisches Monoid, das von teilerfremden Erzeugern erzeugt werde, es sei ${\displaystyle {}K[M]}$ der Monoidring zu ${\displaystyle {}M}$ über einem Körper ${\displaystyle {}K}$ und es sei

${\displaystyle {}R=K[M]_{\mathfrak {m}}\,}$

die Lokalisierung am maximalen Ideale ${\displaystyle {}{\mathfrak {m}}=K[M_{+}]=\langle T^{m},\,m\in M\rangle }$. Zeige, dass ${\displaystyle {}R}$ allein im Fall ${\displaystyle {}M=\mathbb {N} }$ ein diskreter Bewertungsring ist.

Sei ${\displaystyle {}R}$ ein diskreter Bewertungsring mit Quotientenkörper ${\displaystyle {}Q}$. Zeige, dass es keinen echten Zwischenring zwischen ${\displaystyle {}R}$ und ${\displaystyle {}Q}$ gibt.

Sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und ${\displaystyle {}K(T)}$ der Körper der rationalen Funktionen über ${\displaystyle {}K}$. Finde einen diskreten Bewertungsring ${\displaystyle {}R\subset K(T)}$ mit ${\displaystyle {}Q(R)=K(T)}$ und mit ${\displaystyle {}R\cap K[T]=K}$.

Es sei ${\displaystyle {}P\in C=V(F)\subset {\mathbb {A} }_{K}^{2}}$ ein glatter Punkt einer ebenen irreduziblen Kurve. Zeige, dass der zugehörige lokale Ring ein diskreter Bewertungsring ist.

Sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und sei

${\displaystyle \nu \colon (K^{\times },\cdot ,1)\longrightarrow (\mathbb {Z} ,+,0)}$

ein surjektiver Gruppenhomomorphismus mit ${\displaystyle {}\nu (f+g)\geq \min\{\nu (f),\nu (g)\}}$ für alle ${\displaystyle {}f,g\in K^{\times }}$. Zeige, dass

${\displaystyle {}R={\left\{f\in K^{\times }\mid \nu (f)\geq 0\right\}}\cup \{0\}\,}$

ein diskreter Bewertungsring ist.

Sei ${\displaystyle {}R}$ ein diskreter Bewertungsring und sei ${\displaystyle {}{\mathfrak {m}}=(\pi )}$. Es sei ${\displaystyle {}K=R/(\pi )}$ der Restklassenkörper von ${\displaystyle {}R}$. Zeige, dass es für jedes ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} }$ einen ${\displaystyle {}R}$-Modulisomorphismus

${\displaystyle (\pi ^{n})/(\pi ^{n+1})\longrightarrow K}$

gibt.

Sei ${\displaystyle {}R=K[X,Y,Z]_{(X,Y,Z)}}$. Bestimme mit Hilfe von Lemma 21.4, ob die folgenden Restklassenringe ${\displaystyle {}R/(f_{1},\ldots ,f_{n})}$ regulär sind (und von welcher Dimension).

1. ${\displaystyle {}f_{1}=0}$.
2. ${\displaystyle {}f_{1}=X+3Y+Z^{7}-XYZ^{2}}$.
3. ${\displaystyle {}f_{1}=XY+X^{2}-Y^{3}}$.
4. ${\displaystyle {}f_{1}=X+Y^{3}}$ und ${\displaystyle {}f_{2}=X+Z^{5}}$.
5. ${\displaystyle {}f_{1}=2X-3Y+Y^{2}Z-XYZ}$ und ${\displaystyle {}f_{2}=X+Z^{4}-Y^{17}}$.
6. ${\displaystyle {}f_{1}=2X-5Y+Z+XY-Z^{3}}$, ${\displaystyle {}f_{2}=X-3Y+Z+X^{2}Y^{2}Z^{2}}$ und ${\displaystyle {}f_{3}=-3X+Z-Z^{2}-XYZ^{2}}$.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein lokaler regulärer Ring der Dimension ${\displaystyle {}d}$ mit maximalem Ideal ${\displaystyle {}{\mathfrak {m}}={\left(x_{1},\ldots ,x_{d}\right)}}$. Zeige, dass

${\displaystyle {}x^{\alpha }=x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots x_{d}^{\alpha _{d}}=x_{1}^{\beta _{1}}\cdots x_{d}^{\beta _{d}}=x^{\beta }\,}$

nur bei ${\displaystyle {}\alpha =\beta }$ gilt.

Bestimme ein minimales Erzeugendensystem für das maximale Ideal im lokalen Ring zum Punkt

${\displaystyle {}(1,0,0,1)\in V(XY-UV)\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{4}}\,.}$

Es sei ${\displaystyle {}V=V({\mathfrak {a}})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}}$ eine affin-algebraische Menge und ${\displaystyle {}P\in V}$ ein Punkt, in dem ${\displaystyle {}V}$ die Dimension ${\displaystyle {}d}$ besitzt. Es sei ${\displaystyle {}{\mathcal {O}}_{P}}$ der lokale Ring zu ${\displaystyle {}P}$. Zeige, dass ${\displaystyle {}{\mathcal {O}}_{P}}$ genau dann ein regulärer Ring ist, wenn es einen ${\displaystyle {}(n-d)}$-dimensionalen linearen Raum ${\displaystyle {}L=V({\mathfrak {b}})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}}$ derart gibt, dass im lokalen Ring die Beziehung

${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}={\mathfrak {m}}_{P}\,}$

gilt.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und ${\displaystyle {}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$ der Polynomring über ${\displaystyle {}K}$. Zeige durch Induktion über ${\displaystyle {}n}$, dass jedes maximale Ideal in ${\displaystyle {}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$ von ${\displaystyle {}n}$ Elementen erzeugt wird.

Ein noetherscher kommutativer Ring ${\displaystyle {}R}$ heißt regulär, wenn jede Lokalisierung ${\displaystyle {}R_{\mathfrak {m}}}$ an einem maximalen Ideal ${\displaystyle {}{\mathfrak {m}}}$ regulär ist.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein regulärer lokaler Ring. Zeige, dass dann auch der Polynomring ${\displaystyle {}R[X]}$ regulär ist.

Es sei ${\displaystyle {}(R,{\mathfrak {m}})}$ ein noetherscher lokaler Integritätsbereich und ${\displaystyle {}M}$ ein ${\displaystyle {}R}$-Modul. Der ${\displaystyle {}R/{\mathfrak {m}}}$-Vektorraum ${\displaystyle {}M/{\mathfrak {m}}M}$ und der ${\displaystyle {}Q(R)}$ Vektorraum ${\displaystyle {}M\otimes _{R}Q(R)}$ habe die gleiche Dimension ${\displaystyle {}d}$. Zeige, dass ${\displaystyle {}M}$ ein freier Modul vom Rang ${\displaystyle {}d}$ ist.

Sei ${\displaystyle {}p}$ eine Primzahl und

${\displaystyle {}K=\mathbb {Z} /(p)(U)\subseteq R=K[Y]/{\left(Y^{p}-U\right)}\,.}$

Zeige, dass ${\displaystyle {}R\cong K(Y)}$ ist, dass ${\displaystyle {}R}$ regulär ist und dass der Modul der Kähler-Differentiale ${\displaystyle {}\Omega _{R{|}K}}$ nicht frei ist.

Betrachte die Körpererweiterung

${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(p)\subseteq \mathbb {Z} /(p)(X)\subseteq {\left(\mathbb {Z} /(p)(X)\right)}[Y]/{\left(Y^{p}-X\right)}\,}$

zu einer Primzahl ${\displaystyle {}p}$.

1. Zeige, dass die hintere Körpererweiterung endlich, aber nicht separabel ist.
2. Zeige, dass ${\displaystyle {}\{X\}}$ eine Transzendenzbasis der Gesamterweiterung, aber keine separierende Transzendenzbasis ist.
3. Finde eine separierende Transzendenzbasis für die Gesamterweiterung.