Nichtvollkommener Körper/Regulär/Kählermodul nicht frei/Aufgabe

Sei ${}p$ eine Primzahl und

{}K=\mathbb {Z} /(p)(U)\subseteq R=K[Y]/{\left(Y^{p}-U\right)}\,.

Zeige, dass ${}R\cong K(Y)$ ist, dass ${}R$ regulär ist und dass der Modul der Kähler-Differentiale

{}\Omega _{R{|}K}

nicht frei ist.

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