Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Das Radikal zu einem Ideal ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}\subseteq R}$ in einem kommutativen Ring ${\displaystyle {}R}$.
2. Ein Kegelschnitt.
3. Die Lokalisierung eines kommutativen Ringes ${\displaystyle {}R}$ an einem Primideal ${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}}$.
4. Die Normalisierung zu einem kommutativen Monoid ${\displaystyle {}M}$.
5. Die Homogenisierung zu einem Ideal ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$.
6. Eine projektive Varietät.

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Stetigkeit der Spektrumsabbildung.
2. Der Satz über die universelle Eigenschaft der Monoidringe.
3. Der Satz über die Glattheit und Normalität einer ebenen Kurve.

1. Ist das Bild der Funktion

   ${\displaystyle \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto \left(e^{t},\,e^{t}\right),}$

   eine algebraische Kurve?

2. Ist das Bild der Funktion

   ${\displaystyle \mathbb {C} \longrightarrow \mathbb {C} ^{2},\,z\longmapsto \left(e^{z},\,e^{z}\right),}$

   eine algebraische Kurve?

3. Ist das Bild der Funktion

   ${\displaystyle \mathbb {C} \longrightarrow \mathbb {C} ^{2},\,z\longmapsto \left(e^{z},\,e^{z}\right),}$

   „isomorph“ zu einer algebraischen Kurve?

1. Das Bild ist die Menge

   ${\displaystyle {\left\{(x,x)\mid x\in \mathbb {R} _{+}\right\}}.}$

   Der Durchschnitt mit der vollen Diagonalen ${\displaystyle {}{\left\{(x,x)\mid x\in \mathbb {R} \right\}}}$ besitzt unendlich viele Punkte, ist aber nicht die volle gerade, also ist das Bild nach Lemma 1.3 (Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)) keine ebene algebraische Kurve.

2. Das Bild ist die Menge

   ${\displaystyle {\left\{(x,x)\mid x\in \mathbb {C} \setminus \{0\}\right\}}.}$

   Somit ist wie in (1) keine ebene algebraische Kurve.

3. Nach (2) ist das Bild gleich ${\displaystyle {}\mathbb {C} \setminus \{0\}}$, dies ist isomorph zur komplexen Hyperbel ${\displaystyle {}V(XY-1)\subseteq \mathbb {C} ^{2}}$.

Bestimme die ${\displaystyle {}x}$-Koordinaten der Schnittpunkte von ${\displaystyle {}V(X^{2}+Y^{2}-1)}$ und ${\displaystyle {}V(Y-2X^{2}+2)}$ in ${\displaystyle {}{\mathbb {A} }_{\mathbb {C} }^{2}}$.

Wir setzen

${\displaystyle {}Y=2X^{2}-2\,}$

in die Kreisgleichung ein und erhalten

${\displaystyle {}{\begin{aligned}0&=X^{2}+Y^{2}-1\\&=X^{2}+{\left(2X^{2}-2\right)}^{2}-1\\&=X^{2}+4X^{4}-8X^{2}+4-1\\&=4X^{4}-7X^{2}+3.\end{aligned}}}$

Dies führt auf

${\displaystyle {}X^{4}-{\frac {7}{4}}X^{2}+{\frac {3}{4}}=0\,}$

und somit auf

${\displaystyle {}{\left(X^{2}-{\frac {7}{8}}\right)}^{2}-{\frac {49}{64}}+{\frac {3}{4}}=0\,.}$

Daher ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}X^{2}&=\pm {\sqrt {{\frac {49}{64}}-{\frac {3}{4}}}}+{\frac {7}{8}}\\&=\pm {\sqrt {{\frac {49}{64}}-{\frac {48}{64}}}}+{\frac {7}{8}}\\&=\pm {\frac {1}{8}}+{\frac {7}{8}},\end{aligned}}}$

also

${\displaystyle {}X^{2}=1\,}$

oder

${\displaystyle {}X^{2}={\frac {3}{4}}\,.}$

Somit ist

${\displaystyle {}X=1,-1,{\frac {\sqrt {3}}{2}},-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\,.}$

Beweise den Satz über den Zariski-Abschluss zu einer Teilmenge ${\displaystyle {}T\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}}$.

Die Inklusion ${\displaystyle {}T\subseteq V(\operatorname {Id} \,(T))}$ wurde in Lemma 3.8 (Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018))  (1) gezeigt. Da ${\displaystyle {}V(\operatorname {Id} \,(T))}$ nach Definition abgeschlossen ist, folgt daraus ${\displaystyle {}{\overline {T}}\subseteq V(\operatorname {Id} \,(T))}$.

Sei umgekehrt ${\displaystyle {}P\in V(\operatorname {Id} \,(T))}$ und sei ${\displaystyle {}P\not \in {\overline {T}}}$ angenommen. Dies bedeutet, dass es eine Zariski-offene Menge ${\displaystyle {}U}$ gibt mit ${\displaystyle {}P\in U}$ und ${\displaystyle {}U\cap T=\emptyset }$. Sei ${\displaystyle {}U=D({\mathfrak {a}})}$. Die Bedingung ${\displaystyle {}P\in U}$ bedeutet, dass es ein ${\displaystyle {}G\in {\mathfrak {a}}}$ geben muss mit ${\displaystyle {}G(P)\neq 0}$. Es ist dann ${\displaystyle {}P\in D(G)\subseteq U}$ und damit ${\displaystyle {}T\cap D(G)=\emptyset }$. Also ist ${\displaystyle {}T\subseteq V(G)}$ und somit ${\displaystyle {}G\in \operatorname {Id} \,(T)}$. Wegen ${\displaystyle {}G(P)\neq 0}$ ergibt sich ein Widerspruch zu ${\displaystyle {}P\in V(\operatorname {Id} \,(T))}$.

Es seien ${\displaystyle {}R_{1},R_{2},\ldots ,R_{n}}$ kommutative Ringe und sei

${\displaystyle {}R=R_{1}\times R_{2}\times \cdots \times R_{n}\,}$

der Produktring.

1. Es seien

   ${\displaystyle I_{1}\subseteq R_{1},I_{2}\subseteq R_{2},\ldots ,I_{n}\subseteq R_{n}}$

   Ideale. Zeige, dass die Produktmenge

   ${\displaystyle I_{1}\times I_{2}\times \cdots \times I_{n}}$

   ein Ideal in ${\displaystyle {}R}$ ist.

2. Zeige, dass jedes Ideal ${\displaystyle {}I\subseteq R}$ die Form

   ${\displaystyle {}I=I_{1}\times I_{2}\times \cdots \times I_{n}\,}$

   mit Idealen ${\displaystyle {}I_{j}\subseteq R_{j}}$ besitzt.

3. Sei

   ${\displaystyle {}I=I_{1}\times I_{2}\times \cdots \times I_{n}\,}$

   ein Ideal in ${\displaystyle {}R}$. Zeige, dass ${\displaystyle {}I}$ genau dann ein Hauptideal ist, wenn sämtliche ${\displaystyle {}I_{j}}$ Hauptideale sind.

4. Zeige, dass ${\displaystyle {}R}$ genau dann ein Hauptidealring ist, wenn alle ${\displaystyle {}R_{j}}$ Hauptidealringe sind.

1. Wegen

   ${\displaystyle 0=(0,0,\ldots ,0)\in I}$

   ist ${\displaystyle {}I}$ nicht leer. Für zwei Elemente ${\displaystyle {}a=(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})}$ und ${\displaystyle {}b=(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n})}$ aus ${\displaystyle {}I}$ ist jeweils ${\displaystyle {}a_{j},b_{j}\in I_{j}}$. Daher ist stets ${\displaystyle {}a_{j}+b_{j}\in I}$ und somit gehört

   ${\displaystyle {}a+b=(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})+(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n})=(a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2},\ldots ,a_{n}+b_{n})\,}$

   zum Ideal. Für

   ${\displaystyle a=(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})\in I}$

   und

   ${\displaystyle r=(r_{1},r_{2},\ldots ,r_{n})\in R}$

   ist jeweils ${\displaystyle {}a_{j}\in I_{j}}$ und daher ${\displaystyle {}r_{j}a_{j}\in I_{j}}$. Somit gehört

   ${\displaystyle {}ra=(r_{1},r_{2},\ldots ,r_{n})(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})=(r_{1}a_{1},r_{2}a_{2},\ldots ,r_{n}a_{n})\,}$

   zu ${\displaystyle {}I}$.

2. Zu einem Ideal

   ${\displaystyle {}I\subseteq R\,}$

   setzen wir

   ${\displaystyle {}I_{j}={\left\{x\in R_{j}\mid (0,\ldots ,0,x,0,\ldots ,0)\in I\right\}}\,.}$

   Hierbei steht ${\displaystyle {}x}$ an der ${\displaystyle {}j}$-ten Stelle. Dies ist jeweils ein Ideal in ${\displaystyle {}R_{j}}$: Es ist ${\displaystyle {}0\in I_{j}}$; wenn

   ${\displaystyle (0,\ldots ,0,x,0,\ldots ,0),(0,\ldots ,0,y,0,\ldots ,0)\in I}$

   ist auch

   ${\displaystyle (0,\ldots ,0,x+y,0,\ldots ,0)\in I;}$

   Wenn ${\displaystyle {}x\in I_{j}}$ und ${\displaystyle {}r\in R_{j}}$ ist, so ist

   ${\displaystyle (0,\ldots ,0,x,0,\ldots ,0)\in I}$

   und somit ist

   ${\displaystyle (0,\ldots ,0,r,0,\ldots ,0)(0,\ldots ,0,x,0,\ldots ,0)=(0,\ldots ,0,rx,0,\ldots ,0)\in I,}$

   also ${\displaystyle {}rx\in I_{j}}$. Wir behaupten

   ${\displaystyle {}I=I_{1}\times I_{2}\times \cdots \times I_{n}\,.}$

   Wenn

   ${\displaystyle (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})\in I}$

   ist, so ist auch (mit der ${\displaystyle {}1}$ an der ${\displaystyle {}j}$-ten Stelle)

   ${\displaystyle (0,\ldots ,0,1,0,\ldots ,0)\cdot (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})=(0,\ldots ,0,a_{j},0,\ldots ,0)\in I,}$

   also ${\displaystyle {}a_{j}\in I_{j}}$. Also ist ${\displaystyle {}(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})\in I_{1}\times I_{2}\times \cdots \times I_{n}}$. Wenn umgekehrt${\displaystyle {}a=(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})\in I_{1}\times I_{2}\times \cdots \times I_{n}}$ ist, so ist ${\displaystyle {}a_{j}\in I_{j}}$, also

   ${\displaystyle (0,\ldots ,0,a_{j},0,\ldots ,0)\in I.}$

   Wegen

   ${\displaystyle {}(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})=(a_{1},0,\ldots ,0)+(0,a_{2},0,\ldots ,0)+\cdots +(0,0,\ldots ,a_{n})\,}$

   ist somit ${\displaystyle {}a\in I}$.

3. Es seien zunächst die ${\displaystyle {}I_{j}=(f_{j})}$ Hauptideale in ${\displaystyle {}R_{j}}$. Für jedes Element ${\displaystyle {}a=(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})\in I}$ ist dann ${\displaystyle {}a_{j}=r_{j}f_{j}}$ mit einem ${\displaystyle {}r_{j}\in R_{j}}$. Damit ist

   ${\displaystyle {}a=(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})=(r_{1}f_{1},r_{2}f_{2},\ldots ,r_{n}f_{n})=(r_{1},r_{2},\ldots ,r_{n})(f_{1},f_{2},\ldots ,f_{n})\,,}$

   also ist ${\displaystyle {}(f_{1},f_{2},\ldots ,f_{n})}$ ein Erzeuger von ${\displaystyle {}I_{1}\times I_{2}\times \cdots \times I_{n}}$ und es liegt ein Hauptideal vor. Wenn umgekehrt ${\displaystyle {}I_{1}\times I_{2}\times \cdots \times I_{n}}$ ein Hauptideal ist, so sei ${\displaystyle {}(f_{1},f_{2},\ldots ,f_{n})}$ ein Erzeuger davon. Zu jedem ${\displaystyle {}a_{j}\in I_{j}}$ gehört ${\displaystyle {}(0,\ldots ,0,a_{j},0,\ldots ,0)}$ zu ${\displaystyle {}I}$ und somit gibt es ein ${\displaystyle {}r\in R}$ mit

   ${\displaystyle {}(0,\ldots ,0,a_{j},0,\ldots ,0)=(r_{1},r_{2},\ldots ,r_{n})(f_{1},f_{2},\ldots ,f_{n})\,.}$

   Also ist

   ${\displaystyle {}a_{j}=r_{j}f_{j}\,}$

   und daher ist ${\displaystyle {}f_{j}}$ ein Erzeuger von ${\displaystyle {}I_{j}}$.

4. Dies folgt unmittelbar aus (3).

Es sei ${\displaystyle {}C\subseteq \mathbb {R} ^{3}}$ das Bild der Abbildung

${\displaystyle \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,t\longmapsto (t,t^{2},t^{3})=(x,y,z).}$

Skizziere die Bilder von ${\displaystyle {}C}$ unter den Projektionen auf die verschiedenen Koordinatenebenen.

Man gebe ein Beispiel für einen injektiven Monoidhomomorphismus ${\displaystyle {}M\rightarrow N}$ zwischen kommutativen Monoiden derart an, dass die zugehörige Spektrumsabbildung nicht surjektiv ist.

Wir betrachten die Inklusion ${\displaystyle {}\mathbb {N} \subset \mathbb {Z} }$. Zu einem beliebigen Körper ${\displaystyle {}K}$ ist die Abbildung ${\displaystyle {}\varphi \colon \mathbb {N} \rightarrow (K,\cdot ,1)}$, die ${\displaystyle {}0}$ auf ${\displaystyle {}1}$ und alle positiven Zahlen auf ${\displaystyle {}0}$ abbildet, ein Monoidhomomorphismus, also ein Punkt aus ${\displaystyle {}K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(K[\mathbb {N} ]\right)}}$. Dieser Homomorphismus ist nicht zu einem Monoidhomomorphismus auf ganz ${\displaystyle {}\mathbb {Z} }$ ausdehnbar, da dort ${\displaystyle {}1}$ invertierbar ist und daher auf eine Einheit geschickt werden muss.

Ist die ebene projektive Kurve ${\displaystyle {}V_{+}{\left(X^{4}+Z^{3}Y+Z^{4}\right)}\subset {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{2}}$ isomorph zum projektiven Abschluss einer monomialen Kurve?

Wir schreiben

${\displaystyle {}X^{4}+Z^{3}Y+Z^{4}=X^{4}+Z^{3}(Y+Z)=X^{4}-Z^{3}W\,,}$

wobei wir ${\displaystyle {}W=-Y-Z}$ schreiben. D.h. wir führen eine projektive Variablentransformation durch und schreiben die Gleichung in den neuen Variablen ${\displaystyle {}X,Z,W}$. In dieser Form ist die Kurve der projektive Abschluss der affinen monomialen Kurve ${\displaystyle {}X^{4}-Z^{3}}$.

Es sei ${\displaystyle {}A}$ eine kommutative ${\displaystyle {}R}$-Algebra über einem kommutativen Ring ${\displaystyle {}R}$. Zu ${\displaystyle {}f\in A}$ bezeichne

${\displaystyle \mu _{f}\colon A\longrightarrow A,\,x\longmapsto fx,}$

die ${\displaystyle {}R}$-lineare Multiplikationsabbildung und zu zwei ${\displaystyle {}R}$-linearen Abbildungen

${\displaystyle \varphi _{1},\varphi _{2}\colon A\longrightarrow A}$

bezeichne

${\displaystyle {}[\varphi _{1},\varphi _{2}]=\varphi _{1}\circ \varphi _{2}-\varphi _{2}\circ \varphi _{1}\,.}$

Es sei ${\displaystyle {}\delta \colon A\rightarrow A}$ eine ${\displaystyle {}R}$-Derivation. Zeige, dass zu jedem ${\displaystyle {}g\in A}$ die Abbildung ${\displaystyle {}[\delta ,\mu _{g}]}$ eine Multiplikationsabbildung ist.

Es ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}[\delta ,\mu _{g}](x)&={\left(\delta \circ \mu _{g}-\mu _{g}\circ \delta \right)}(x)\\&=\delta (gx)-g\delta (x)\\&=g\delta (x)+x\delta (g)-g\delta (x)\\&=x\delta (g).\end{aligned}}}$

Somit ist ${\displaystyle {}[\delta ,\mu _{g}]}$ die Multiplikation mit ${\displaystyle {}\delta (g)}$.

Betrachte die affine Nullstellenmenge

${\displaystyle {}V:=V{\left(X^{2}+Y^{2}+1\right)}\subseteq {\mathbb {A} }_{K}^{2}\,}$

über dem Körper ${\displaystyle {}K=\mathbb {Z} /(2)}$ mit zwei Elementen.

1. Bestimme die Punkte von ${\displaystyle {}V}$.
2. Bestimme den projektiven Abschluss von ${\displaystyle {}V}$.
3. Zeige, dass der projektive Abschluss von ${\displaystyle {}V}$ nicht mit der projektiven Nullstellenmenge zur Homogenisierung von ${\displaystyle {}X^{2}+Y^{2}+1}$ übereinstimmt.

1. ${\displaystyle {}V}$ besteht genau aus den beiden Punkten ${\displaystyle {}(1,0)}$ und ${\displaystyle {}(0,1)}$.
2. Der projektive Abschluss von ${\displaystyle {}V}$ stimmt mit ${\displaystyle {}V}$ überein, da endliche Mengen stets abgeschlossen sind.
3. Die Homogenisierung von ${\displaystyle {}X^{2}+Y^{2}+1}$ ist ${\displaystyle {}X^{2}+Y^{2}+Z^{2}}$. Die Punkte im Unendlichen ergeben sich, wenn man ${\displaystyle {}Z=0}$ setzt, also als Lösung der Gleichung

   ${\displaystyle {}X^{2}+Y^{2}=0\,.}$

   Es kommt der Punkt mit den homogenen Koordinaten ${\displaystyle {}(1,1,0)}$ hinzu, deshalb sind die beiden Mengen verschieden.

Beweise den Satz über die noethersche Normalisierung für projektive Kurven.

Es sei ${\displaystyle {}P\in {\mathbb {P} }_{K}^{2}}$ ein Punkt, der nicht auf der Kurve liegt. Einen solchen Punkt gibt es, da der Körper insbesondere unendlich ist. Wir betrachten die Projektion weg von ${\displaystyle {}P}$, die insgesamt einen Morphismus

${\displaystyle C\hookrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{2}\setminus \{P\}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{1}}$

induziert. Die Faser dieses Morphismus über einem Punkt ${\displaystyle {}Q\in {\mathbb {P} }_{K}^{1}}$ (der eine Richtung in ${\displaystyle P\in {\mathbb {P} }_{K}^{2}}$ repräsentiert) besteht genau aus den Punkten der Kurve, die auf der durch ${\displaystyle {}Q}$ definierten Geraden

${\displaystyle {}G=V_{+}(aX+bY+cZ)\cong {\mathbb {P} }_{K}^{1}\subset {\mathbb {P} }_{K}^{2}\,}$

liegen. Daher wird die Faser über ${\displaystyle {}Q}$ auf ${\displaystyle {}G}$ beschrieben, indem man in der Kurvengleichung ${\displaystyle {}C=V_{+}(F)}$ mittels der Geradengleichung eine Variable eliminiert. Das Ergebnis ist ein homogenes Polynom ${\displaystyle {}{\bar {F}}}$ in zwei Variablen vom Grad ${\displaystyle {}d}$, das nicht ${\displaystyle {}0}$ ist, denn sonst wäre ${\displaystyle {}P}$ ein Punkt der Kurve. Da wir über einem algebraisch abgeschlossenen Körper sind, besitzt dieses Polynom ${\displaystyle {}{\bar {F}}}$ mindestens eine und höchstens ${\displaystyle {}d}$ Nullstellen, die alle von ${\displaystyle {}P}$ verschieden sind. Dies ergibt die Surjektivität und die Abschätzung für die Faser.