Algebraische Kurven/Gemischte Satzabfrage/11/Aufgabe/Lösung

Sei ${}K$ ein Körper und seien ${}R$ und ${}S$ kommutative Algebren von endlichem Typ. Es sei ${}\varphi \colon R\rightarrow S$ ein ${}K$ -Algebrahomomorphismus. Dann induziert dies eine Abbildung
$\varphi ^{*}\colon K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(S\right)}\longrightarrow K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)},\,P\longmapsto P\circ \varphi .$
Diese Abbildung ist stetig bezüglich der Zariski-Topologie.
Sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}M$ ein kommutatives Monoid. Sei ${}B$ eine kommutative ${}R$ -Algebra und
$\varphi \colon M\longrightarrow B$

ein Monoidhomomorphismus (bezüglich der multiplikativen Struktur von ${}B$ ). Dann gibt es einen eindeutig bestimmten ${}R$ -Algebrahomomorphismus

${\tilde {\varphi }}\colon R[M]\longrightarrow B$

derart, dass das Diagramm

${\begin{matrix}M&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&R[M]&\\&\searrow &\downarrow &\\&&B&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
kommutiert.
Sei ${}K$ ${{}} K$ ein Körper und sei ${}F\in K[X,Y]$ ${}F\in K[X,Y]$ nichtkonstant ohne mehrfachen Faktor mit zugehöriger algebraischer Kurve ${}C=V(F)$ ${}C=V(F)$ . Es sei ${}P=(a,b)\in C$ ${}P=(a,b)\in C$ ein Punkt der Kurve mit maximalem Ideal ${}{\mathfrak {m}}=(X-a,Y-b)$ ${}{\mathfrak {m}}=(X-a,Y-b)$ und mit lokalem Ring ${}R=(K[X,Y]_{\mathfrak {m}})/(F)$ ${}R=(K[X,Y]_{\mathfrak {m}})/(F)$ . Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
1. ${}P$ ist ein glatter Punkt der Kurve.
2. Die Multiplizität von ${}P$ ist eins.
3. ${}R$ ist ein diskreter Bewertungsring.
4. ${}R$ ist ein normaler Integritätsbereich.

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