Algebraische Kurven/Gemischte Definitionsabfrage/11/Aufgabe/Lösung

Man nennt die Menge
${\left\{f\in R\mid {\text{es gibt ein }}r{\text{ mit }}f^{r}\in {\mathfrak {a}}\right\}}$

das Radikal zu ${}{\mathfrak {a}}$ .
Ein Kegelschnitt ${}C$ ist der Durchschnitt des Standardkegels ${}V(Z^{2}-X^{2}-Y^{2})$ mit einer affinen Ebene ${}V(aX+bY+cZ+d)$ (nicht alle $a,b,c=0$ ), also
${}C=V(Z^{2}-X^{2}-Y^{2})\cap V(aX+bY+cZ+d)\,.$
Man nennt die Nenneraufnahme an ${}S=R\setminus {\mathfrak {p}}$ die Lokalisierung von ${}R$ an ${}{\mathfrak {p}}$ .
Das Untermonoid
${}{\tilde {M}}={\left\{m\in \Gamma (M)\mid {\text{ es gibt }}r\in \mathbb {N} _{+}{\text{ mit }}rm\in M\right\}}\,$

heißt die Normalisierung von ${}M$ .
Das Ideal in ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n},Z]$ , das von allen Homogenisierungen von Elementen aus ${}{\mathfrak {a}}$ erzeugt wird, heißt die Homogenisierung von ${}{\mathfrak {a}}$ .
Eine Zariski-abgeschlossene Teilmenge ${}V_{+}({\mathfrak {a}})\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{n}$ , wobei ${}{\mathfrak {a}}$ ein homogenes Ideal in ${}K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ist, heißt projektive Varietät.

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