Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein kommutativer Ring. Zeige, dass der ${\displaystyle {}R}$-Modul ${\displaystyle {}R^{n}}$ flach ist.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein kommutativer Ring und ${\displaystyle {}S\subseteq R}$ ein multiplikatives System. Zeige, dass der ${\displaystyle {}R}$-Modul ${\displaystyle {}R_{S}}$ flach ist.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein kommutativer Ring und ${\displaystyle {}M}$ ein flacher ${\displaystyle {}R}$-Modul. Es sei ${\displaystyle {}S}$ eine ${\displaystyle {}R}$-Algebra. Zeige, dass ${\displaystyle {}M\otimes _{R}S}$ ein flacher ${\displaystyle {}S}$-Modul ist.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein kommutativer Ring und ${\displaystyle {}M}$ ein ${\displaystyle {}R}$-Modul. Zeige, dass ${\displaystyle {}M}$ genau dann ein projektiver Modul, wenn es einen weiteren Modul ${\displaystyle {}N}$ derart gibt, dass die direkte Summe ${\displaystyle {}M\oplus N}$ frei ist.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und ${\displaystyle {}R=K^{n}}$ der Produktring. Zeige, dass jeder ${\displaystyle {}R}$-Modul ${\displaystyle {}M}$ projektiv ist.

Man gebe ein Beispiel für einen artinschen Ring und einen endlich erzeugten ${\displaystyle {}R}$-Modul ${\displaystyle {}M}$, der nicht projektiv ist.

Zeige, dass es zu dem surjektiven Gruppenhomomorphismus

${\displaystyle p\colon \mathbb {Z} ^{(\mathbb {N} _{+})}\longrightarrow \mathbb {Q} ,\,e_{n}\longmapsto {\frac {1}{n}},}$

keinen Gruppenhomomorphismus

${\displaystyle i\colon \mathbb {Q} \longrightarrow \mathbb {Z} ^{(\mathbb {N} _{+})}}$

mit ${\displaystyle {}p\circ i=\operatorname {Id} _{\mathbb {Q} }}$ gibt. Folgere, dass der ${\displaystyle {}\mathbb {Z} }$-Modul ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$ nicht projektiv ist.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein kommutativer Ring und ${\displaystyle {}M}$ ein projektiver ${\displaystyle {}R}$-Modul. Es sei ${\displaystyle {}T\subseteq R}$ ein multiplikatives System. Zeige, dass ${\displaystyle {}M_{T}}$ ein projektiver ${\displaystyle {}R_{T}}$-Modul ist.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein kommutativer Ring und ${\displaystyle {}M}$ ein projektiver ${\displaystyle {}R}$-Modul. Es sei ${\displaystyle {}S}$ eine ${\displaystyle {}R}$-Algebra. Zeige, dass ${\displaystyle {}M\otimes _{R}S}$ ein projektiver ${\displaystyle {}S}$-Modul ist.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein kommutativer Ring und ${\displaystyle {}M}$ ein endlich erzeugter ${\displaystyle {}R}$-Modul. Zeige, dass ${\displaystyle {}M}$ genau dann lokal frei ist, wenn es Elemente ${\displaystyle {}f_{1},\ldots ,f_{n}\in R}$ mit

${\displaystyle {}{\left(f_{1},\ldots ,f_{n}\right)}=R\,}$

derart gibt, dass die ${\displaystyle {}M_{f_{i}}}$ frei sind.

Sei ${\displaystyle {}R=\mathbb {R} [X,Y,Z]/{\left(X^{2}+Y^{2}+Z^{2}-1\right)}}$. Zeige, dass der ${\displaystyle {}R}$-Modul der Kählerdifferentiale

${\displaystyle {}\Omega _{R{|}\mathbb {R} }=RdX\oplus RdY\oplus RdZ/(XdX+YdY+ZdZ)\,}$

eingeschränkt auf die offenen Mengen ${\displaystyle {}D(X),\,D(Y),\,D(Z)}$ (also ${\displaystyle {}{\left(\Omega _{R{|}\mathbb {R} }\right)}_{X}=\Omega _{R_{X}{|}\mathbb {R} }}$ etc.) frei ist und dass damit ${\displaystyle {}\Omega _{R{|}\mathbb {R} }}$ lokal frei ist.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein lokaler noetherscher Ring, ${\displaystyle {}M}$ ein endlich erzeugter ${\displaystyle {}R}$-Modul und

${\displaystyle \ldots \longrightarrow F_{2}\longrightarrow F_{1}\longrightarrow F_{0}\longrightarrow M\longrightarrow 0}$

eine minimale freie Auflösung von ${\displaystyle {}M}$. Zeige, dass der Rang von ${\displaystyle {}F_{i}}$ gleich der ${\displaystyle {}R/{\mathfrak {m}}}$-Dimension von ${\displaystyle {}M_{i}\otimes _{R}R/{\mathfrak {m}}}$ mit ${\displaystyle {}M_{i}=\operatorname {kern} \left(\theta _{i-1}\right)}$ ist.

Sei ${\displaystyle {}(R,{\mathfrak {m}})}$ ein lokaler Ring und sei ${\displaystyle {}M=R/{\mathfrak {b}}}$ mit einem Ideal ${\displaystyle {}{\mathfrak {b}}\neq (1)}$. Zeige, dass dann für jedes Ideal ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}\neq (1)}$ die natürliche Abbildung

${\displaystyle {\mathfrak {a}}\longrightarrow R/{\mathfrak {b}}}$

nicht surjektiv ist.

Wir betrachten den Restklassenhomomorphismus

${\displaystyle \mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} /(2).}$

Zeige, dass für jede Primzahl ${\displaystyle {}p\neq 2}$ die induzierte Abbildung

${\displaystyle (p)\longrightarrow \mathbb {Z} /(2)}$

surjektiv ist.

Sei ${\displaystyle {}(R,{\mathfrak {m}})}$ ein lokaler Ring und sei ${\displaystyle {}M}$ ein endlich erzeugter ${\displaystyle {}R}$-Modul. Es sei

${\displaystyle \varphi \colon F\longrightarrow M}$

ein surjektiver ${\displaystyle {}R}$-Modulhomomorphismus mit einem freien Modul ${\displaystyle {}F}$, wobei eine Basis auf ein minimales Erzeugendensystem abgebildet werde. Zeige, dass die Einschränkung von ${\displaystyle {}\varphi }$ auf einen echten Untermodul ${\displaystyle {}U\subseteq F}$ nicht surjektiv ist.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein Integritätsbereich und ${\displaystyle {}f\in R}$, ${\displaystyle {}f\neq 0}$. Bestimme die minimale freie Auflösung des ${\displaystyle {}R}$-Moduls ${\displaystyle {}R/(f)}$.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein kommutativer Ring und ${\displaystyle {}M}$ eine Matrix über ${\displaystyle {}R}$, die eine injektive lineare Abbildung

${\displaystyle M\colon R^{m}\longrightarrow R^{n}}$

definiere. Zeige, dass die projektive Dimension des Kokerns ${\displaystyle {}\leq 1}$ ist.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und sei ${\displaystyle {}A=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(F)}$ mit ${\displaystyle {}F\neq 0}$. Zeige, dass der ${\displaystyle {}A}$-Modul der Kählerdifferentiale ${\displaystyle {}\Omega _{A{|}K}}$ eine endliche freie Auflösung besitzt.

Es beschreibe ${\displaystyle {}R}$ eine zweidimensionale ADE-Singularität. Zeige, dass es im maximalen Ideal ${\displaystyle {}{\mathfrak {m}}}$ jeweils zwei Elemente ${\displaystyle {}f,g}$ derart gibt, dass der Restklassenring ${\displaystyle {}R/(f,g)}$ eine endliche freie Auflösung ähnlich zu Beispiel 23.17 besitzt.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ eine zweidimensionale ADE-Singularität. Beschreibe (den Anfang) die minimale freie Auflösung des Restklassenkörpers.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein dreidimensionaler lokaler regulärer Ring. Konstruiere eine endliche freie Auflösung des Restklassenkörpers ähnlich zu Beispiel 23.17.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein kommutativer Ring, ${\displaystyle {}M}$ ein ${\displaystyle {}R}$-Modul und

${\displaystyle 0\longrightarrow F_{n}\longrightarrow \ldots \longrightarrow F_{2}\longrightarrow F_{1}\longrightarrow F_{0}\longrightarrow M\longrightarrow 0}$

eine endliche freie Auflösung. Zeige, dass sämtliche Kerne zu ${\displaystyle {}d_{i}\colon F_{i+1}\rightarrow F_{i}}$ eine endliche freie Auflösung besitzen.