Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein kommutativer Ring und es sei ${\displaystyle {}A}$ eine kommutative endlich erzeugte ${\displaystyle {}R}$-Algebra, die als ${\displaystyle {}A=R[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(F_{1},\ldots ,F_{k})}$ gegeben sei. Dann ist nach Fakt  (4)

${\displaystyle {}dF_{j}={\frac {\partial F_{j}}{\partial X_{1}}}dX_{1}+\cdots +{\frac {\partial F_{j}}{\partial X_{n}}}dX_{n}\,}$

und nach Fakt gibt es eine exakte Sequenz

${\displaystyle A^{k}{\stackrel {M}{\longrightarrow }}A^{n}\longrightarrow \Omega _{A{|}R}\longrightarrow 0,}$

wobei

${\displaystyle {}M={\begin{pmatrix}{\frac {\partial F_{1}}{\partial X_{1}}}&\ldots &{\frac {\partial F_{k}}{\partial X_{1}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial F_{1}}{\partial X_{n}}}&\ldots &{\frac {\partial F_{k}}{\partial X_{n}}}\end{pmatrix}}\,}$

die transponierte Jacobi-Matrix (ohne Auswertung an einem Punkt) ist. Die Standardvektoren ${\displaystyle {}e_{j}}$ werden auf ${\displaystyle {}dX_{j}}$ abgebildet und die Spaltenvektoren ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}{\frac {\partial F_{j}}{\partial X_{1}}}\\\vdots \\{\frac {\partial F_{j}}{\partial X_{n}}}\end{pmatrix}}}$, die die Nullelemente ${\displaystyle {}dF_{j}}$ repräsentieren, sind die Bilder der durch die Matrix gegebenen Abbildung.