${\displaystyle \Omega _{A{|}R}}$

als den Restklassenmodul des freien ${\displaystyle {}A}$-Moduls zur Basis ${\displaystyle {}da}$, ${\displaystyle {}a\in A}$, modulo dem Untermodul, der von den Leibnizrelationen und von ${\displaystyle {}dr}$, ${\displaystyle {}r\in R}$, erzeugt wird, beschreiben.

${\displaystyle {}A=R[x_{1},\ldots ,x_{n}]=R[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}}$

${\displaystyle {}F\in R[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$

${\displaystyle {}f=F{\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)}\in A}$

${\displaystyle {}\Omega _{A{|}R}}$

${\displaystyle {}df={\frac {\partial F}{\partial x_{1}}}(x_{1},\ldots ,x_{n})dx_{1}+\cdots +{\frac {\partial F}{\partial x_{n}}}(x_{1},\ldots ,x_{n})dx_{n}\,,}$

wobei ${\displaystyle {}{\frac {\partial F}{\partial x_{i}}}}$ die ${\displaystyle {}i}$-te partielle Derivation bezeichnet.

${\displaystyle {\begin{matrix}R&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&S&\\\downarrow &&\downarrow &\\A&{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}&B&\!\!\!\!\!,\\\end{matrix}}}$

wobei die Pfeile Ringhomomorphismen repräsentieren, gibt es eine eindeutig bestimmte ${\displaystyle {}A}$-lineare Abbildung

${\displaystyle \Omega _{A{|}R}\longrightarrow \Omega _{B{|}S},\,da\longmapsto d\varphi (a).}$