Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein kommutativer Ring und ${\displaystyle {}M}$ ein ${\displaystyle {}R}$-Modul. Der Modul ${\displaystyle {}M}$ heißt projektiv, wenn es zu jedem surjektiven ${\displaystyle {}R}$-Modulhomomorphismus

${\displaystyle \theta \colon A\longrightarrow B}$

und jedem Modulhomomorphismus

${\displaystyle \varphi \colon M\longrightarrow B}$

einen Modulhomomorphismus

${\displaystyle \psi \colon M\longrightarrow A}$

mit

${\displaystyle {}\varphi =\theta \circ \psi \,}$

gibt.