Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und ${\displaystyle {}F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$ ein Polynom. Zeige, dass ein Punkt ${\displaystyle {}P\in K^{n}}$ genau dann ein kritischer Punkt von ${\displaystyle {}F}$ ist, wenn das maximale Ideal ${\displaystyle {}{\mathfrak {m}}_{P}}$ das Jacobiideal ${\displaystyle {}J_{F}}$ umfasst.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und sei ${\displaystyle {}K[X]}$ der Polynomring über ${\displaystyle {}K}$. Es sei ${\displaystyle {}F\in K[X]}$ und ${\displaystyle {}a\in K}$. Zeige, dass ${\displaystyle {}a}$ genau dann eine mehrfache Nullstelle von ${\displaystyle {}F}$ ist, wenn ${\displaystyle {}F'(a)=0}$ ist, wobei ${\displaystyle {}F'}$ die formale Ableitung von ${\displaystyle {}F}$ bezeichnet.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und ${\displaystyle {}F\in K[X]}$ ein Polynom. Bringe die Begriffe kritischer Punkt von ${\displaystyle {}F}$, Nullstelle der Ableitung ${\displaystyle {}F'}$ und maximales Ideal oberhalb des Jacobiideals ${\displaystyle {}J_{F}}$ miteinander in Verbindung.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und ${\displaystyle {}F\in K[X]}$ ein Polynom. Es sei ${\displaystyle {}P}$ eine Nullstelle von ${\displaystyle {}F}$. Zeige, dass die Vielfachheit der Nullstelle um ${\displaystyle {}1}$ größer als die Milnorzahl von ${\displaystyle {}F}$ in ${\displaystyle {}P}$ ist.

Bestimme die Milnorzahl für die Kurven ${\displaystyle {}V{\left(X^{a}-Y^{b}\right)}}$ im Nullpunkt.

Bestimme die Milnorzahl für die zweidimensionalen ADE-Singularitäten.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper mit einer Charakteristik ${\displaystyle {}\neq 2}$. Es sei ${\displaystyle {}F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$ ein Polynom. Zeige, dass die Milnorzahl von ${\displaystyle {}F}$ im Nullpunkt mit der Milnorzahl des Polynoms ${\displaystyle {}F+Z^{2}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n},Z]}$ im Nullpunkt übereinstimmt.

Es sei ${\displaystyle {}F}$ ein Polynom in den Variablen ${\displaystyle {}X_{1},\ldots ,X_{m}}$ und ${\displaystyle {}G}$ ein Polynom in den Variablen ${\displaystyle {}Y_{1},\ldots ,Y_{n}}$. Wir interessieren uns für die Summe ${\displaystyle {}F+G}$ (in den Variablen ${\displaystyle {}X_{1},\ldots ,X_{m},Y_{1},\ldots ,Y_{n}}$).

1. Sowohl ${\displaystyle {}F}$ als auch ${\displaystyle {}G}$ definieren eine isolierte Singularität im Nullpunkt. Zeige, dass auch ${\displaystyle {}F+G}$ eine isolierte Singularität im Nullpunkt definiert.
2. Zeige, dass die Milnorzahl von ${\displaystyle {}F+G}$ (im Nullpunkt) das Produkt der Milnorzahlen der beiden Polynome ${\displaystyle {}F}$ und ${\displaystyle {}G}$ ist.

Zeige, dass

${\displaystyle {}g=X+X^{2}\in K[X]\,}$

die Voraussetzung von Lemma 14.13 erfüllt, und dass daher ${\displaystyle {}(g)=(X)}$ in ${\displaystyle {}K[X]_{(X)}}$ gilt, dass dies aber nicht in ${\displaystyle {}K[X]}$ gilt.

Es sei ${\displaystyle {}{\mathfrak {n}}}$ ein maximales Ideal in einem kommutativen Ring ${\displaystyle {}R}$. Es sei ${\displaystyle {}R_{\mathfrak {n}}}$ die Lokalisierung von ${\displaystyle {}R}$ an ${\displaystyle {}{\mathfrak {n}}}$ und es sei ${\displaystyle {}{\mathfrak {m}}={\mathfrak {n}}R_{\mathfrak {n}}}$ das maximale Ideal von ${\displaystyle {}R_{\mathfrak {n}}}$. Zeige ${\displaystyle {}R/{\mathfrak {n}}=R_{\mathfrak {n}}/{\mathfrak {m}}}$.

Bestimme den Typ der Hesse-Form zur Funktion

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}y-xy^{2}+x^{2}-y^{3},}$

Es sei ${\displaystyle {}V}$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, ${\displaystyle {}G\subseteq V}$ eine offene Menge und

${\displaystyle f\colon G\longrightarrow \mathbb {R} }$

eine zweimal stetig differenzierbare Funktion. Zeige, dass die Hesse-Form von ${\displaystyle {}f}$ in jedem Punkt ${\displaystyle {}P\in G}$ symmetrisch ist.

Man gebe für vorgegebene natürliche Zahlen ${\displaystyle {}p,q,n}$ mit ${\displaystyle {}p+q\leq n}$ eine zweimal stetig differenzierbare Funktion

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ,}$

deren Hesse-Form im Nullpunkt den Typ ${\displaystyle {}(p,q)}$ besitzt.

Berechne die Hesse-Matrix zu ${\displaystyle {}F=X^{a}+Y^{b}+Z^{c}}$ im Nullpunkt.

Berechne die Hesse-Matrix zu den zweidimensionalen ADE-Singularitäten im Nullpunkt.

Es sei ${\displaystyle {}F\in \mathbb {R} [X_{1},\ldots ,X_{n}]}$ ein reelles Polynom und ${\displaystyle {}P\in \mathbb {R} ^{n}}$ ein kritischer Punkt. Beweise Lemma 14.14 mit Hilfe von Satz 39.3 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)), angewendet auf die Hesse-Matrix von ${\displaystyle {}F}$.