Es sei ${\displaystyle {}V}$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, ${\displaystyle {}G\subseteq V}$ eine offene Menge und

${\displaystyle f\colon G\longrightarrow \mathbb {R} }$

eine zweimal stetig differenzierbare Funktion. Es sei eine Basis ${\displaystyle {}v_{i}}$, ${\displaystyle {}i=1,\ldots ,n}$, von ${\displaystyle {}V}$ gegeben mit den zugehörigen Richtungsableitungen ${\displaystyle {}D_{i}:=D_{v_{i}}}$, ${\displaystyle {}i=1,\ldots ,n}$. Zu ${\displaystyle {}P\in G}$ heißt dann die Matrix

${\displaystyle {\begin{pmatrix}D_{1}D_{1}f(P)&\cdots &D_{1}D_{n}f(P)\\\vdots &\ddots &\vdots \\D_{n}D_{1}f(P)&\cdots &D_{n}D_{n}f(P)\end{pmatrix}}}$

die Hesse-Matrix zu ${\displaystyle {}f}$ im Punkt ${\displaystyle {}P}$ bezüglich der gegebenen Basis.