Es sei

${\displaystyle {}0=V_{0}\subset V_{1}\subset \ldots \subset V_{n-1}\subset V_{n}=V\,}$

eine Fahne in einem endlichdimensionalen ${\displaystyle {}K}$-Vektorraum ${\displaystyle {}V}$. Zeige

${\displaystyle {}V_{i+1}/V_{i}\cong K\,}$

für ${\displaystyle {}i=0,\ldots ,n-1}$.

Es sei

${\displaystyle {}0=V_{0}\subset V_{1}\subset \ldots \subset V_{n-1}\subset V_{n}=V\,}$

eine Fahne in einem ${\displaystyle {}\mathbb {C} }$-Vektorraum ${\displaystyle {}V}$. Wir betrachten ${\displaystyle {}V}$ als reellen Vektorraum der reellen Dimension ${\displaystyle {}2n}$. Zeige, dass es reelle Untervektorräume

${\displaystyle {}W_{i}\subseteq V\,}$

derart gibt, dass

${\displaystyle {}0\subset W_{1}\subset V_{1}\subset W_{2}\subset V_{2}\subset \ldots \subset V_{n-1}\subset W_{n}\subset V_{n}\,}$

eine reelle Fahne ist.

Es sei ${\displaystyle {}M\neq \emptyset }$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit der Dimension ${\displaystyle {}n}$. Zeige, dass es eine Kette von abgeschlossenen Untermannigfaltigkeiten

${\displaystyle M_{0}\subseteq M_{1}\subseteq M_{2}\subseteq \ldots \subseteq M_{n-1}\subseteq M_{n}=M}$

derart gibt, dass die abgeschlossene Untermannigfaltigkeit ${\displaystyle {}M_{i}}$ die Dimension ${\displaystyle {}i}$ besitzt.

Sei ${\displaystyle {}R}$ ein Hauptidealbereich, der kein Körper sei. Zeige, dass die Krulldimension von ${\displaystyle {}R}$ gleich eins ist.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein kommutativer Ring und ${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}}$ ein Primideal. Zeige, dass die Dimension von ${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}}$ gleich der Dimension des Restklassenringes ${\displaystyle {}R/{\mathfrak {p}}}$ ist.

Sei ${\displaystyle {}R}$ ein kommutativer Ring und ${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}}$ ein Primideal. Zeige, dass die Höhe von ${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}}$ gleich der Dimension der Lokalisierung ${\displaystyle {}R_{\mathfrak {p}}}$ ist.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein noetherscher kommutativer Ring. Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind.

1. ${\displaystyle {}R}$ hat Krulldimension ${\displaystyle {}0}$.
2. ${\displaystyle {}R}$ ist ein artinscher Ring.
3. ${\displaystyle {}R}$ besitzt endlich viele Primideale, die alle maximal sind.
4. Es gibt eine natürliche Zahl ${\displaystyle {}n}$ mit ${\displaystyle {}{\mathfrak {m}}^{n}=0}$ für jedes maximale Ideal ${\displaystyle {}{\mathfrak {m}}}$.
5. Die Reduktion von ${\displaystyle {}R}$ ist ein Produkt von Körpern.

Es sei ${\displaystyle {}\varphi \colon R\rightarrow S}$ ein surjektiver Ringhomomorphismus zwischen den Integritätsbereichen ${\displaystyle {}R}$ und ${\displaystyle {}S}$. Die Krulldimension dieser Ringe sei endlich und gleich. Zeige, dass dann ${\displaystyle {}\varphi }$ ein Isomorphismus ist.

Es sei ${\displaystyle {}(R,{\mathfrak {m}})}$ ein noetherscher lokaler Ring. Zeige, dass aus ${\displaystyle {}{\mathfrak {m}}^{n+1}={\mathfrak {m}}^{n}}$ folgt, dass ${\displaystyle {}{\mathfrak {m}}^{n}=0}$ ist.