Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die Abstandsfunktion auf einem reellen Vektorraum ${\displaystyle {}V}$ mit einem Skalarprodukt ${\displaystyle {}\left\langle -,-\right\rangle }$.
2. Ein wegzusammenhängender metrischer Raum ${\displaystyle {}M}$.
3. Die Differenzierbarkeit einer Funktion

   ${\displaystyle f\colon I\longrightarrow V}$

   in einem Punkt ${\displaystyle {}t\in I}$, wobei ${\displaystyle {}I}$ ein Intervall und ${\displaystyle {}V}$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum ist.

4. Eine gleichmäßig stetige Abbildung

   ${\displaystyle f\colon L\longrightarrow M}$

   zwischen den metrischen Räumen ${\displaystyle {}L}$ und ${\displaystyle {}M}$.

5. Ein regulärer Punkt ${\displaystyle {}P\in V}$ einer differenzierbaren Abbildung

   ${\displaystyle \varphi \colon V\longrightarrow W}$

   zwischen endlichdimensionalen reellen Vektorräumen.

6. Die Hesse-Matrix zu einer zweimal stetig differenzierbaren Funktion

   ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} }$

   in einem Punkt ${\displaystyle {}P\in \mathbb {R} ^{n}}$.

7. Die gleichmäßige Konvergenz einer Abbildungsfolge

   ${\displaystyle f_{n}\colon T\longrightarrow M,}$

   wobei ${\displaystyle {}T}$ eine Menge und ${\displaystyle {}M}$ ein metrischer Raum ist.

8. Eine sternförmige Teilmenge ${\displaystyle {}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$.

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über Folgen und abgeschlossene Mengen in einem metrischen Raum ${\displaystyle {}M}$.
2. Der Satz über das Verhalten von Lösungen einer linearen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten bei einem Basiswechsel.
3. Der Satz über die Richtungsableitungen in einem lokalen Extremum.
4. Der Satz über die injektive Abbildung.

Beschreibe die Einschränkung der Funktion

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}-xy+3y\cos \left(x+2y\right),}$

auf die durch

${\displaystyle {}4x+5y=7\,}$

gegebene Gerade (als Funktion in einer Variablen).

Wir betrachten im ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{2}}$ die offenen Bälle ${\displaystyle {}U=U{\left((0,0),1\right)}}$ und ${\displaystyle {}V=U{\left((2,0),2\right)}}$. Man gebe für jeden Punkt

${\displaystyle {}x=(a,b)\in U\cap V\,}$

einen expliziten offenen Ball mit Mittelpunkt ${\displaystyle {}x}$ an, der ganz innerhalb von ${\displaystyle {}U\cap V}$ liegt.

Man gebe ein Beispiel einer bijektiven Abbildung

${\displaystyle \varphi \colon [0,1]\longrightarrow [0,1]\subseteq \mathbb {R} ,}$

die rektifizierbar ist, deren Länge aber ${\displaystyle {}>1}$ ist.

Es sei

${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow V,\,t\longmapsto \varphi (t),}$

eine Lösung der zeitunabhängigen Differentialgleichung

${\displaystyle {}v'=F(t,v)=F(v)\,}$

zum Vektorfeld

${\displaystyle F\colon V\longrightarrow V.}$

Zeige, dass auch

${\displaystyle {}\psi (t):=\varphi (t+c)\,}$

zu jedem ${\displaystyle {}c\in \mathbb {R} }$ eine Lösung ist.

Es sei ${\displaystyle {}V}$ ein euklidischer Vektorraum und

${\displaystyle F\colon \mathbb {R} \times V\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto F(t,v)=g(v)v,}$

ein zeitunabhängiges Zentralfeld zur stetig differenzierbaren Funktion

${\displaystyle g\colon V\longrightarrow \mathbb {R} .}$

a) Zeige, dass das Wegintegral dieses Vektorfeldes längs eines stetig-differenzierbaren Weges, der zum Nullpunkt einen konstanten Abstand besitzt, gleich ${\displaystyle {}0}$ ist.

b) Zeige, dass ${\displaystyle {}F}$ genau dann ein Gradientenfeld ist, wenn es eine stetige Funktion

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} _{\geq 0}\longrightarrow \mathbb {R} }$

${\displaystyle {}g(v)=f(\Vert {v}\Vert )\,}$

gibt.

Wir betrachten die Abbildung

${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {C} ^{2}\longrightarrow \mathbb {C} ^{2},\,(x,y)\longmapsto (xe^{y},-e^{-y}).}$

a) Zeige, dass die Determinante des totalen Differentials von ${\displaystyle {}\varphi }$ in jedem Punkt gleich ${\displaystyle {}1}$ ist.

b) Zeige, dass ${\displaystyle {}\varphi }$ nicht injektiv ist.

c) Bestimme das Bild von ${\displaystyle {}\varphi }$.

Es sei ${\displaystyle {}M}$ ein metrischer Raum und sei

${\displaystyle f\colon M\longrightarrow M}$

eine Abbildung. Mit ${\displaystyle {}f^{\circ n}}$ bezeichnen wir die ${\displaystyle {}n}$-fache Hintereinanderschaltung von ${\displaystyle {}f}$ mit sich selbst.

a) Zeige, dass wenn ${\displaystyle {}f}$ Lipschitz-stetig ist, dass dann auch ${\displaystyle {}f^{\circ n}}$ Lipschitz-stetig ist.

b) Man gebe ein Beispiel für eine Lipschitz-stetige Abbildung ${\displaystyle {}f}$, die keine starke Kontraktion, wo aber jedes ${\displaystyle {}f^{\circ n}}$ für ${\displaystyle {}n\geq 2}$ eine starke Kontraktion ist.

c) Es sei ${\displaystyle {}f}$ Lipschitz-stetig und es sei ${\displaystyle {}f^{\circ k}}$ eine starke Kontraktion für ein gewisses ${\displaystyle {}k}$. Zeige, dass es ein ${\displaystyle {}n_{0}}$ derart gibt, dass ${\displaystyle {}f^{\circ n}}$ für jedes ${\displaystyle {}n\geq n_{0}}$ eine starke Kontraktion ist.

Es sei

${\displaystyle F\colon G\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}}$

ein stetig differenzierbares Vektorfeld auf einer offenen Menge

${\displaystyle {}G\subseteq \mathbb {R} ^{2}\,}$

und es sei

${\displaystyle {}\rho (P):={\frac {\partial F_{2}}{\partial x}}(P)-{\frac {\partial F_{1}}{\partial y}}(P)\,.}$

Zeige

${\displaystyle {}\rho (P)={\frac {1}{\pi }}\cdot \operatorname {lim} _{\epsilon \rightarrow 0}\,{\frac {1}{\epsilon ^{2}}}\int _{\gamma _{\epsilon }}F\,,}$

wobei ${\displaystyle {}\gamma _{\epsilon }}$ den einmal gegen den Uhrzeigersinn durchlaufenen Kreisweg um ${\displaystyle {}P}$ mit Radius ${\displaystyle {}\epsilon }$ bezeichnet.