Es sei ${\displaystyle {}V}$ ein euklidischer Vektorraum und

${\displaystyle F\colon \mathbb {R} \times V\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto F(t,v)=g(v)v,}$

ein zeitunabhängiges Zentralfeld zur stetig differenzierbaren Funktion

${\displaystyle g\colon V\longrightarrow \mathbb {R} .}$

a) Zeige, dass das Wegintegral dieses Vektorfeldes längs eines stetig-differenzierbaren Weges, der zum Nullpunkt einen konstanten Abstand besitzt, gleich ${\displaystyle {}0}$ ist.

b) Zeige, dass ${\displaystyle {}F}$ genau dann ein Gradientenfeld ist, wenn es eine stetige Funktion

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} _{\geq 0}\longrightarrow \mathbb {R} }$

${\displaystyle {}g(v)=f(\Vert {v}\Vert )\,}$