a) Der stetig differenzierbare Weg sei durch

${\displaystyle \gamma \colon I\longrightarrow V}$

gegeben mit

${\displaystyle {}\Vert {\gamma (t)}\Vert =c\,}$

für alle ${\displaystyle {}t\in I}$. Es seien ${\displaystyle {}\gamma _{1},\ldots ,\gamma _{n}}$ die Komponenten bezüglich einer Orthonormalbasis von ${\displaystyle {}V}$. Dann ist

${\displaystyle {}\gamma _{1}^{2}(t)+\cdots +\gamma _{n}^{2}(t)=c^{2}\,}$

konstant und daher gilt für die Ableitung

${\displaystyle {}\gamma _{1}(t)\cdot \gamma _{1}'(t)+\cdots +\gamma _{n}(t)\cdot \gamma _{n}'(t)=0\,,}$

also ist

${\displaystyle {}\left\langle {\begin{pmatrix}\gamma _{1}(t)\\\vdots \\\gamma _{n}(t)\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}\gamma _{1}'(t)\\\vdots \\\gamma _{n}'(t)\end{pmatrix}}\right\rangle =0\,.}$

Damit ist auch

${\displaystyle {}\left\langle g(\gamma (t))\cdot {\begin{pmatrix}\gamma _{1}(t)\\\vdots \\\gamma _{n}(t)\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}\gamma _{1}'(t)\\\vdots \\\gamma _{n}'(t)\end{pmatrix}}\right\rangle =0\,}$

und daher ist das Wegintegral längs ${\displaystyle {}\gamma }$ gleich ${\displaystyle {}0}$, da es das Integral über diese Funktion ist.

b) Wenn ${\displaystyle {}F}$ ein Gradientenfeld ist, so gibt es ein Potential

${\displaystyle h\colon V\longrightarrow \mathbb {R} ,}$

also eine differenzierbare Funktion mit

${\displaystyle {}\operatorname {Grad} \,h(v)=F(v)=g(v)v\,.}$

Für zwei Punkte ${\displaystyle {}v,w\in V}$, die vom Nullpunkt den gleichen Abstand

${\displaystyle {}\Vert {v}\Vert =\Vert {w}\Vert =c\,}$

haben, gibt es nach Aufgabe eine stetig differenzierbare Kurve

${\displaystyle \gamma \colon [0,1]\longrightarrow V}$

mit ${\displaystyle {}\gamma (0)=v}$ und ${\displaystyle {}\gamma (1)=w}$, die zum Nullpunkt konstant den Abstand ${\displaystyle {}c}$ besitzt. Mit einem solchen Weg erhält man

${\displaystyle {}h(v)-h(w)=\int _{0}^{a}\left\langle F(\gamma (t),\gamma '(t)\right\rangle dt=0\,}$

nach Teil a), so dass der Wert von ${\displaystyle {}h(v)}$ nur von ${\displaystyle {}\Vert {v}\Vert }$ abhängt. Daher ist

${\displaystyle {}h(v)=f(\Vert {v}\Vert )\,}$

mit einer gewissen Funktion

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} _{\geq }\longrightarrow \mathbb {R} .}$

Diese ist stetig, da für einen Orthonormalvektor ${\displaystyle {}u}$ die Beziehung

${\displaystyle {}f(r)=h(ru)\,}$

gilt und ${\displaystyle {}h}$ stetig ist. Für den Gradienten von ${\displaystyle {}h}$ ist

Wenn umgekehrt

${\displaystyle {}g(v)=f(\Vert {v}\Vert )\,}$

ist mit ${\displaystyle {}f}$ stetig, so sei ${\displaystyle {}s}$ eine Stammfunktion zu ${\displaystyle {}f}$. Wir behaupten, dass

${\displaystyle {}h(v):=s(\Vert {v}\Vert )\,}$

${\displaystyle {}g(v)v}$