Es sei ${\displaystyle {}M}$ ein metrischer Raum und sei

${\displaystyle f\colon M\longrightarrow M}$

eine Abbildung. Mit ${\displaystyle {}f^{\circ n}}$ bezeichnen wir die ${\displaystyle {}n}$-fache Hintereinanderschaltung von ${\displaystyle {}f}$ mit sich selbst.

a) Zeige, dass wenn ${\displaystyle {}f}$ Lipschitz-stetig ist, dass dann auch ${\displaystyle {}f^{\circ n}}$ Lipschitz-stetig ist.

b) Man gebe ein Beispiel für eine Lipschitz-stetige Abbildung ${\displaystyle {}f}$, die keine starke Kontraktion, wo aber jedes ${\displaystyle {}f^{\circ n}}$ für ${\displaystyle {}n\geq 2}$ eine starke Kontraktion ist.

c) Es sei ${\displaystyle {}f}$ Lipschitz-stetig und es sei ${\displaystyle {}f^{\circ k}}$ eine starke Kontraktion für ein gewisses ${\displaystyle {}k}$. Zeige, dass es ein ${\displaystyle {}n_{0}}$ derart gibt, dass ${\displaystyle {}f^{\circ n}}$ für jedes ${\displaystyle {}n\geq n_{0}}$ eine starke Kontraktion ist.